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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Paco del Rey
- 15-07-2021 17:43:07
Je me rends compte que nous avons écrit à peu près la même chose...
Paco.
- Paco del Rey
- 15-07-2021 17:40:28
J'ai l'impression que tu mélanges convergence normale (pour laquelle on regarde les sommes partielles de la norme)
et convergence uniforme (pour laquelle on regarde une majoration (uniforme) des restes).
La convergence normale lorsqu'elle est au rendez-vous - est plus simple (à mon avis)
Sur [tex][−R,R][/tex], on a la convergence de [tex]\sum\limits_{n\geqslant1}nR^{n−1}[/tex].
Comme on a [tex]\Vert nx^n \Vert_\infty = nR^n[/tex] sur [tex][−R,R][/tex], on a bien convergence normale sur [tex][−R,R][/tex], ce qui permet de conclure.
Paco.
- Thgues
- 15-07-2021 14:27:44
Rebonjour Paco del Rey,
Il me semble difficile, même avec le bon reste, de prouver la convergence uniforme.
J'essaye donc de montrer la convergence normale sur tout segment [tex][-R,R][/tex] inclus dans [tex]]-1,1[[/tex].
Par exemple, [tex]|nx^{n-1}|\le n\times R^{n-1}[/tex] et [tex]n\times R^{n-1}=o(\frac{1}{n^2})[/tex] en l'infini, car R est strictement plus petit que 1.
Puis on conclut quant à la convergence normale.
Est-ce correct ?
- Thgues
- 15-07-2021 12:50:56
Bonjour Paco, et merci pour ta réponse.
Mais bien sûr, l'expression du reste n'est pas correcte, d'où le blocage !
Et puis oui, je peux conclure par saturation.
Merci beaucoup Paco del Rey.
- Paco del Rey
- 15-07-2021 11:09:48
Bonjour Thgues.
Tu en demandes trop.
Tu demandes la convergence uniforme de [tex]\sum\limits_{n\geqslant1}nx^{n−1}[/tex] sur [tex]]−1;1[[/tex].
1/ Tu ne l'auras pas comme tu l'as remarqué (mais l'expression de ton reste est douteuse)
2/ Tu n'en a pas besoin : Il te suffit d'avoir convergence uniforme sur tout segment [tex][-R;R]\subset ]−1;1[[/tex] pour avoir la dérivation terme à terme sur tout segment [tex][-R;R]\subset ]−1;1[[/tex], donc sur [tex]]−1;1[[/tex].
Paco.
- Thgues
- 15-07-2021 10:59:24
Salut, et bonjour tout le monde !
Je cherche à démontrer que la série géométrique [tex]\sum_{n\ge 1} x^n[/tex] est dérivable terme à terme, pour tout [tex]x\in ]-1;1[[/tex], sans passer par les théorèmes sur les séries entière.
Pour cela, je cherche donc à appliquer le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions.
Le point me posant problème est celui de la convergence uniforme de [tex]\sum_{n\ge 1} nx^{n-1}[/tex] sur [tex]]-1;1[[/tex].
J'essaye donc de montrer que la suite des restes d'ordre n, définie par [tex]R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} kx^{k-1}[/tex] converge uniformément vers la fonction nulle sur [tex]]-1;1[[/tex].
Or, [tex]\sum_{k=n+1}^{+\infty} kx^{k-1}=\frac{1}{(x-1)}^2[/tex], mais [tex]\sup_{x\in ]-1;1[} |R_n|=+\infty[/tex] et donc la suite [tex](R_n)[/tex] ne converge pas uniformément sur [tex]]-1;1[[/tex].
Où est mon erreur ?
Merci d'avance de votre aide !