Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Oui, c'est une question de définitions avec des quantificateurs .. et un équivalent n'est rien d'autre qu'une histoire de limite mathématiquement.

En relisant tu as :
$f(t) = \frac {sin(t^3)-sin(t^2)}{t}$

$f'(t) =\frac {3t^3cos(t^3)+sin(t^2)-sin(t^3)}{t^2}-2cos(t^2)$.
En effet f(0) et f'(0) n'existent pas sous ces formes à cause des 0 aux dénominateurs. Mais il est implicite qu'on pose f(0)=0 par prolongement par continuité en 0 compte tenu de ce que tu as trouvé parce que :
- $f$ est continue sur $\mathbb R^{*}$ comme fraction de deux fonctions continues.
- les limites à gauche et à droite de 0 sont égales et valent 0
Par ailleurs en revenant à la définition de $f$ comme intégrale tu as bien $f(0)=0$ (les bornes de l'intégrale étant égales).

Dès lors f(0) existe et f'(0) a un sens. Et de même on peut poser $f'(0)=-1$ par prolongement par continuité en 0 de $f'$..

Exemple typique : $f(t) = \frac {sin(t)}{t}$ en 0

Oui je voulais dire un DL d'ordre 1. En fait tu fais bien de me poser la question parce que j'aurais du écrire des DL d'ordre 1 en 0 de $sin(t^3), sin(t^2), cos(t^2)$ et $cos(t^3)$ ...d'ailleurs on ne parle pas d'équivalent simple du premier ordre..
Au final tu obtiens un DL d'ordre 1 de $f'$ en 0 qui te permet d'en déduire un équivalent de $f'(x)$ en 0, en l'occurrence -1.

re,
voilà.. et par "équivalents simples" je voulais dire du premier ordre, ici c'est suffisant.

Bonjour,
On cherche $f'(0)$ .. et qu'as tu trouvé comme expression de $f(t)$ ?
Tu peux ensuite dériver l'expression de $f$ que tu as obtenue. Il est alors possible de  trouver un équivalent de $f'$ en 0 en cherchant des équivalents simples (toujours en 0) de $sin(t^3), sin(t^2), cos(t^2)$ et $cos(t^3)$ ...