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bridgslam · 28-05-2021 12:08:15

Bonjour,

merci, pas de souci. N'hésites pas pour la suite.
Bonne continuation

Alain

salim269 · 28-05-2021 08:35:28

Bonjour, Merci beaucoup, je pense avoir tout compris maintenant. En fait si tout élément distinct est d'ordre 2, alors forcement $\textbf{xy}=z$ (car sinon $\textbf{xy}=x \Rightarrow y=e$ ce qui n'est pas possible, de la meme maniere $\textbf{xy} \ne y$). Et calculerait de même les autres produits. Je vous remercie d'avoir pris du temps pour me repondre et vous souhaite une bonne journée.

bridgslam · 27-05-2021 14:09:13

J'ai l'impression que tu confonds ordre d'un élément x et x élevé à un exposant quelconque : quand on écrit [tex]x^k[/tex] , k n'a rien à voir avec l'ordre de x.

Sans vouloir me répéter quand tu pars d'un x donné, tu peux calculer [tex]x^2 , x^3 .... [/tex] indéfiniment.
Si tu reviens à e au bout d'un moment avec une puissance k ( pile à ce moment-là , pas avant) , ça veut dire:

- que x est d'ordre fini ( toujours vrai si G est fini )
- que son ordre est k.

J'espère t'avoir éclairci les idées.
En cas de doute reprends simplement les définitions.

Alain

bridgslam · 27-05-2021 13:49:40

Sinon je ne comprends pas bien tes affirmations dans la suite de ton message, notamment tu n'auras jamais d'élément d'ordre 3, justement selon Lagrange.

Si G d'ordre 4 est cyclique [tex]G = \{ e, x , x^2 , x^3 \} [/tex] et il n'y a plus à se casser la tête car pour la table on ajoute les exposants ( à 4 près).
Il a deux générateurs.

Ensuite si tout élément distinct de e est d'ordre 2 ( 3 impossible car ce n'est pas un diviseur de 4, cf Lagrange ) , il reste à montrer que la table est unique, là tu n'as donné que les produits xy où x = y...

Alain

bridgslam · 27-05-2021 13:35:23

Si G ( comme ton exemple Z/nZ ou n'importe quel groupe ) est d'ordre n , et qu' un élément x est d'ordre n, <x> est par définition de cardinal n, donc <x> = G, ainsi G est cyclique ( dont un générateur est x ).
Si n = p premier, d'après le th. de Lagrange tout élément est d'ordre 1 ou égal à p, donc le groupe est forcément cyclique ( tout élément sauf le neutre l'engendrant).

Si n n'est pas premier mais le groupe G cyclique ( donc G isomorphe à Z/nZ ), par définition au moins un de ses éléments l'engendre ( [tex]\overline{1}[/tex] par exemple ) , mais il y en a plusieurs sauf si le groupe n' a que 1 ou 2 éléments.

De manière générale [tex]\overline{m}[/tex] engendre [tex]\mathbb{Z} /n\mathbb{Z}[/tex] ssi m et n sont premiers entre eux.
Donc il y a exactement [tex]\phi( n ) [/tex] générateurs dans un groupe cyclique d'ordre n, [tex]\phi [/tex] étant la fonction indicateur d' Euler qui a plein de propriétés intéressantes, en cryptographie par exemple, mais aussi en arithmétique pure.

Quand G est cyclique, il existe un sous-groupe d'ordre d (unique) pour tout diviseur d du cardinal de G. Fait exceptionnel.
En classant pour tout diviseur d de n tous les éléments qui ont (forcément) un de ces ordres , la sommation des [tex]\phi (d) [/tex] lorsque d parcourt l'ensemble des diviseurs de n donne donc n, puisque tous ceux distincts d'ordre d sont exactement les générateurs du seul s-g à d éléments de G.

Enfin quand n n'est pas premier et G quelconque de cardinal n c'est moins simple, mais des propriétés spécifiques existent si par exemple l'ordre de G est une puissance d'un nombre premier.

Alain

salim269 · 27-05-2021 11:21:28

Merci beaucoup de votre réponse,
Je comprends mieux, et en faisant les tables çà s’écrit naturellement. Mais je me demande dans ce cas dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, on prend $n$ non premier, est-ce que si on a $x$ d'ordre $n$ alors, forcement $G=<x>$.
Je vous propose une rédaction qui utilise $\textbf{le théorème de Lagrange}$ pour $n=4$. Soit $G=\{e,a,b,c\}$
$\textbf{1 er cas}$: Si $G$ admet un élément d'ordre 4,supposons que c'est $a$, alors $G$ admet aussi un élément d'ordre $2$,$a^2=b$ par Lagrange et un élément d'ordre $3$: $a^3=a^{-1}=c$ (a et b peuvent s’échanger)

$\textbf{2e cas}$: Si $G$ n'admet pas d’élément d'ordre $4$, comment justifier que $G$ ne peut avoir d'élément d'ordre $3$ ? Donc forcement on a que tous les éléments de $G$ sont d'ordre $2$ ie :$a^2=b^2=c^2=e$

bridgslam · 27-05-2021 07:57:33

Puisque tu es déjà sur un corrigé voici une méthode possible ( sans théorème annexe ):

De toute façon les ordres des éléments sont compris entre 1 et 4.

- 1 er cas . Il existe un x d'ordre 4 , alors <x> = G, G est le groupe cyclique à 4 éléments ( un seul "modèle" à isomorphisme près, académiquement on dira G isomorphe à [tex]\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[/tex] ).
On peut le voir aussi comme le groupe des rotations laissant invariant un carré, ou bien dans [tex]\mathbb{C}[/tex] le plus petit groupe
multiplicatif contenant i.

- 2 ieme cas . Aucun élément n'est d'ordre 4.

Soit x distinct de e , quelconque, son symétrique est noté y. On a donc xy = yx =e.
si x est distinct de y, pour le dernier élément z , il ne peut être que son propre symétrique.
Mais alors la table est impossible xz serait différent de e, de z, de x , d'où xz = y, qui donnera yxz = ez = z => yx = z = e.

Donc seule l'éventualité contraire est possible: pour tout x, son symétrique est x.
La table de groupe est alors imposée, aussi dans ce cas.
Son seul modèle est alors [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex], ou si on préfère la géométrie
le groupe des symétries laissant invariant un rectangle non carré.

Avec la connaissance du théorème de Lagrange, on sait aussi que les ordres possibles sont 1, 2 ,4 seuls diviseurs de 4, ce qui limite les recherches... procédé employé à tours de bras quand les groupes sont plus gros.

Alain

bridgslam · 27-05-2021 07:20:37

Bonjour,

Il y a deux notions , qui se confondent plus ou moins à la base.

L'ordre d'un groupe G: c 'est son cardinal.
L'ordre d'un élément x de G: c'est le cardinal du plus petit sous-groupe de G contenant x, nommé sous-groupe de G engendré par x, souvent noté ( abusivement <x> ) : cet ordre de x est alors le plus petit k entier naturel non nul tel que [tex]x^k = e[/tex].
En fait il est indépendant du groupe conteneur.

Dans un groupe fini, tout élément est d'ordre fini. La réciproque est fausse, et même parfois dans un groupe infini tous les éléments peuvent être d'ordre fini ( groupe de torsion ) . Exemple dans un de mes posts récents précédents ( où en plus ils sont tous d'ordre 2 !)...

L' ordre de e est toujours 1 et c'est le seul de cet ordre.
Rien ne dit que si G est d'ordre 4, tout x de G est d'ordre 4.

En calculant un peu sur les tables possibles, dans le cas G d'ordre 4, on se rend compte qu'il n'y en a que deux possibles.
On peut utiliser des moyens plus expéditifs connaissant quelques théorèmes.
Par exemple tout groupe d'ordre le carré d'un nombre premier est commutatif, si tout est élément sauf e est d' ordre 2, le groupe est de d'ordre une puissance de 2 etc.

Dans un groupe fini G, l'ordre de tout élément divise l'ordre de G.

Alain

salim269 · 27-05-2021 05:54:57

Bonjour, j'ai un petit j'ai du mal a comprendre la notion d'ordre dans un groupe. Par exemple pour determiner tous les sous groupes d'ordres j'ai lu sur un corrigé qu'on faisait une disjonction de cas suivant l'existence ou non d'un element d'ordre 4. Or par définition,\\ x \in G est d'ordre 4 \Longleftrightarrow x^4=e\\ Mais e appartient forcement a G en tant que groupe, qu'est ce qui m'echappe ? merci de votre reponse

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