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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Zebulor
- 10-05-2021 21:42:22
Bonsoir,
haha !! la réflexion de Quentintin me laissait un temps perplexe également ...
Bonne soirée !
- Roro
- 10-05-2021 21:27:18
Bonsoir,
Même si je comprends mieux l'explication de Roro, je trouve ça sympa d'avoir aussi une rédaction plus rigoureuse
Attention je vais me vexer :-p : En quoi mon explication n'était pas rigoureuse ???
Ce n'est pas lorsqu'on met plus de symboles mathématiques qu'on est plus rigoureux...
Bonne soirée,
Roro.
- Quentintin
- 10-05-2021 20:27:33
Merci pour vos réponses ! Même si je comprends mieux l'explication de Roro, je trouve ça sympa d'avoir aussi une rédaction plus rigoureuse
Merci à vous deux
Mathieu
- Zebulor
- 10-05-2021 08:32:40
re,
je me permets cette petite incursion, si je crois bien comprendre ce qui te gêne :
Ce que je ne comprends pas, c'est cette inégalité: $\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\leq \int_a^b f(x)^n dx\ $ car l'intervalle $[c-\eta,c+\eta]$ correspond au voisinage de $\sup_{x\in [a,b]}f(x)$ donc par croissance de l'intégrale, on devrait avoir l'inégalité inverse avec $ \int_a^b f(x)^n dx\leq\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\ $ (l'inégalité inverse)
mathieu
$a$,$b$, $c$ et $\varepsilon$ sont fixés.
Mentalement lorsque $\eta$ varie de $+\infty$ à $0$, il passe par une valeur $\eta_{max}$ pour laquelle le segment $[c-\eta,c+\eta]$ devient inclus dans $[a,b]$. Implicitement $\eta_{max}=\eta_{max}(\varepsilon)$ ... et il me semble que $\eta_{max}=min(c-a,b-c)$
Pour les cas $0\lt \eta \lt \eta_{max}$, $\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\ \lt \int_a^b f(x)^n dx$ et $\int_{B\setminus A}$ est non nulle.
- Roro
- 10-05-2021 05:57:23
Une preuve : la relation de Chasles !
$$\int_A f + \int_{B\setminus A} f = \int_B f.$$
Roro.
- Quentintin
- 09-05-2021 22:30:05
Bonsoir et merci Roro
Pourrais tu me fournir une preuve rapide ou un lien vers une quelconque démonstration de ta propriété s'il te plait? Parce que j'en vois bien l'utilité dans l'exercice, mais c'est la première fois que je la vois (pas que je doute de ta réponse, je n'oserais pas!)
Mathieu
- Roro
- 09-05-2021 22:14:09
Bonsoir,
Tu peux utiliser l'inégalité suivante : $\int_A f \leq \int_B f$ dès que $A \subset B$ et $f\geq 0$.
Roro.
- Quentintin
- 09-05-2021 21:57:29
bonsoir et merci pour vos réponses (et désolé pour la mienne assez tardive...)
j'avais bien compris que pour obtenir $2\eta (M-\varepsilon)^n \leq \int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^n\, dx$ il fallait intégrer f(x) pour x dans $[c-\eta,c+\eta]$
Ce que je ne comprends pas, c'est cette inégalité: $\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\leq \int_a^b f(x)^n dx\ $ car l'intervalle $[c-\eta,c+\eta]$ correspond au voisinage de $\sup_{x\in [a,b]}f(x)$ donc par croissance de l'intégrale, on devrait avoir l'inégalité inverse avec $ \int_a^b f(x)^n dx\ leq\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\ $ (l'inégalité inverse)
mathieu
- Zebulor
- 08-05-2021 05:58:11
re,
plus précisément : on fixe $N=M-\varepsilon$. Alors il existe $\eta_1$ et $\eta_2$ non nécessairement égaux mais distincts de $c$ pour lesquels $f(\eta_1)=f(\eta_2)=N$. En choisissant $\eta=Min(\eta_1,\eta_2)$, alors pour tout $x$ de $[c-\eta,c+\eta]$, on a $f(x)^n\ge N^n$..
- Zebulor
- 07-05-2021 22:23:31
Bonsoir,
Tu peux par exemple poser $N=M-\varepsilon$ qui est fixé car $\varepsilon$ est fixé .
L'idée est qu'on peut construire un intervalle centré sur $c$ de plus en plus petit jusqu'à ce que tout élément $x$ de $[c−η,c+η], f(x)≥N$.
Grillé par Roro..
- Roro
- 07-05-2021 22:20:13
Bonsoir,
Je ne comprend pas ce qui te pose problème :
Tu sais que pour tout $c-\eta \leq x \leq c+\eta$ on a $(M-\varepsilon)^n \leq f(x)^n$.
Si tu intègres cette inégalité sur $[c-\eta,c+\eta]$ tu en déduis bien $2\eta (M-\varepsilon)^n \leq \int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^n\, dx$.
De l'autre coté, c'est la même chose en commençant par dire que pour tout $a \leq x \leq b$ on a $f(x)^n \leq M^n$ puis en intégrant...
Roro.
- Quentintin
- 07-05-2021 20:47:06
veps c'est le petit epsilon ...
- Quentintin
- 07-05-2021 20:45:23
Bonsoir!
f une fonction définie, continue, positive sur [a,b] et il faut montrer que
$\lim_{n\to +\infty}\left(\int_a^b f(x)^n dx\right)^{1/n}=\sup_{x\in [a,b]}f(x).$
la correction commence par : soit $M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)$. Puisque f est continue, il existe un point c dans [a,b] tel que f(c)=M. Fixons ε>0. Il existe η>0 tel que, pour tout x dans [c−η,c+η], f(x)≥M−ε. On a alors :
$2\eta(M-\veps)^n\leq\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\leq \int_a^b f(x)^n dx\leq (b-a)M^n,$
ce que je ne comprends pas, c'est la premiere partie de l'encadrement: je ne vois pas comment on peut passer d'un minorement au voisinage de c à un minorement sur l'intervalle entier sans que cela ne pose de probleme (comment etre sûr que $2\eta(M-\veps)^n$ minore bien $int_a^b f(x)^n dx$ ?)
Mathieu