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D'accord je vois, merci beaucoup, je comprends mieux.

Bonjour, je suis actuellement en première et comme j'aime beaucoup m'amuser je fais quelques exercices. Je suis actuellement sur un exercice de raisonnement par récurrence ou je dois trouver une généralisation et la démontrer. Je n'ai jamais travaillé sur une démonstration avec un raisonnement par récurrence d'une formule sur une fonction itérée. Je serait heureux de savoir si une démonstration de cette façon serait suffisante. Merci beaucoup pour vos réponses. L'exercice est le suivant.

\begin{align*} \text{Comme :} f(x)&=\cfrac{x}{\sqrt{1+cx^2}}\\ f(f(x))&=\cfrac{f(x)}{\sqrt{1+cf(x)^2}}=\cfrac{x}{\sqrt{1+2cx^2}}\\ \text{alors :}   f(f(f(x)))&=\cfrac{f(x)}{\sqrt{1+2cf(x)^2}}=\cfrac{x}{\sqrt{1+3cx^2}}\\
\text{on en déduit : } f^n(x) &= \cfrac{x}{\sqrt{1+ncx^2}}
\end{align*}
On cherche à démontrer par récurrence de la propriété suivante:
$P_n : f^n(x) = \cfrac{x}{1+ncx^2}$

Initialisation:
Montrons que la propriété $P_n$ est vérifiée au rang 1 :
D'une part pour $n=1$ on a $P_1: f^1(x)=\cfrac{x}{1+cx^2}=f(x)$
D'autre part selon l'énoncé $f(x)=\cfrac{x}{1+cx^2}$
Comme $f^1(x)=f(x)$ on en conclu que $P_n$ est vérifiée au rang $n=1$

Héréditée:
Supposons que pour un entier $n>0$, $P_n$ soit vérifiée
\begin{align*}
\text{On a alors :} f^n(x)&=\cfrac{x}{\sqrt{1+ncx^2}}\\
\text{donc : } f^n(f(x))&=\cfrac{f(x)}{\sqrt{1+ncf(x)^2}}=\cfrac{\cfrac{x}{1+cx^2}}{\sqrt{1+nc(\cfrac{x}{1+cx^2})^2}}\\
&=\cfrac{x}{\sqrt{(1+cx^2)(\cfrac{1+cx^2+ncx^2}{1+cx^2})}}=\cfrac{x}{\sqrt{1+(n+1)cx^2}}
\end{align*}
$\text{cela correspond a la propriété}:P_{n+1}\\P_n \text{est donc héréditaire}$

Conclusion:
$P_n$ étant héréditaire et vérifiée au rang $n=1$ on en déduit que la propriétée est donc vérifiée