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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- charlesmld
- 18-04-2021 17:08:50
ah d'accord j'avais pas compris qu'on utilisait deux nouvelles constantes, je pensais que les expressions allaient se simplifier et qu'il resterait [tex]\lambda e^xcos(2x)[/tex] mais en réalité on pose a = [tex]\lambda + \mu[/tex] et de même pour b. Merci beaucoup pour votre aide.
- Roro
- 18-04-2021 11:35:16
Re-bonjour,
dans ce cas si je retiens la partie réelle et imaginaire j'aurais [tex]\lambda e^{x} (cos(2x) + sin(2x))+\mu e^x (cos(-2x) + sin(-2x))[/tex]
et ça se simplifie ?
Là, tu exagères : ça se simplifie évidemment car $\cos(-2x)=\cos(2x)$ et $\sin(-2x)=-\sin(2x)$...
Tu obtiens alors [tex](\lambda + \mu)e^{x} \cos(2x) + (\lambda-\mu) e^x \sin(2x).[/tex]
qui est bien de la forme [tex]a \, e^{x} \cos(2x) + b \, e^x \sin(2x).[/tex]
Roro.
- charlesmld
- 18-04-2021 10:39:02
dans ce cas si je retiens la partie réelle et imaginaire j'aurais [tex]\lambda e^{x} (cos(2x) + sin(2x))+\mu e^x (cos(-2x) + sin(-2x))[/tex]
et ça se simplifie ?
- Roro
- 18-04-2021 10:27:09
Bonjour,
Si tu as $e^{2ix}$, tu retiens sa partie réelle $\cos(2x)$ ET sa partie imaginaire $\sin(2x)$.
En fait, les parties réelles et imaginaires de $e^{-2ix}$ engendrent le même espace vectoriel sur $\mathbb R$, c'est $E_{\mathbb R}$ !
Roro.
- charlesmld
- 18-04-2021 09:30:57
D'accord donc j'ai [tex]e^{2ix} = cos(2x) + isin(2x)[/tex] dont je ne retiens que le cos(2x) et j'ai [tex]e^{-2ix} = cos(-2x) + isin(-2x)[/tex] dont je ne retiens que cos(-2x) mais [tex]cos(-2x) \ne sin(2x)[/tex] non ?
- Roro
- 17-04-2021 22:04:31
Re-bonsoir,
je ne comprends pas pourquoi [tex]e^{2ix} = cos(2x)[/tex] et [tex]e^{-2ix} = sin(2x)[/tex]
Parce que c'est faux !!!
Attention, lorsque tu écrivais les solutions de ton équation différentielle, les coefficients $\lambda$ et $\mu$ sont quelconques, et ce ne sont pas les mêmes dans les deux expressions.
Pour être plus précis, l'ensemble des solutions est l'ensemble suivant
$$E_{\mathbb R} = \{ a e^x \cos(2x) + b e^x \cos(2x) \, , \, (a,b) \in \mathbb R² \}$$
En fait, tu cherches des solutions réelles (enfin, je l'imagine) et tu utilises simplement les nombres complexes pour trouver pus "facilement" ces solutions. Si tu cherches l'ensemble de toutes les solutions complexes, tu trouveras
$$E_{\mathbb C} = \{ a e^{x(1+2i)} + b e^{x(1-2i)} \, , \, (a,b) \in \mathbb C² \}.$$
Il y a beaucoup plus de solutions dans $E_{\mathbb C}$ que dans $E_{\mathbb R}$. En fait, $E_{\mathbb R}$ est l'intersection de $E_{\mathbb C}$ avec les fonctions réelles.
Roro.
- charlesmld
- 17-04-2021 21:46:55
Oui je vois mais je ne comprends pas pourquoi [tex]e^{2ix} = cos(2x)[/tex] et [tex]e^{-2ix} = sin(2x)[/tex]
- Roro
- 17-04-2021 19:58:38
Bonsoir,
[...] je ne vois pas comment on passe de cette forme : [tex]\lambda e^{x(1+2i)} + µ e^{x(1-2i)}[/tex] à celle [...] donnée par : [tex] \lambda e^x cos(2x) + µ e^x sin(2x)[/tex]
Regardes les parties réelles et imaginaires de tes solutions !
Roro.
- charlesmld
- 17-04-2021 18:58:09
Bonjour, je ne vois pas vraiment pourquoi la solution générale est de cette forme, je connais la formule des solutions générales d'une équa dif dont le discriminant est différent de 0 mais je ne vois pas comment on passe de cette forme : [tex]\lambda e^{x(1+2i)} + µ e^{x(1-2i)}[/tex] à celle du corrigé :
L'équation caractéristique est r²-2r+5 = 0, dont les racines sont : 1+2i et 1-2i.
La solution générale de l'équation homogène est donc donnée par : [tex] \lambda e^x cos(2x) + µ e^x sin(2x)[/tex]