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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 16-04-2021 12:55:50
Re-bonjour,
euh même plutôt [tex]\mathbb{Q}[/tex] pour pouvoir sortir de [tex]\mathbb{Z}[/tex] avec un quotient...
Si vraiment tu veux travailler dans un cadre arithmétique, il ne reste guère que Z/pZ avec p premier.
Alain
- charlesmld
- 16-04-2021 08:34:08
Oui donc [tex]\mathbb{Z}[/tex] serait le plus adapté. Merci à tous pour votre aide
- bridgslam
- 16-04-2021 06:53:28
Bonjour,
Avec le cas particulier x = 1 à traiter séparément... et ça marche ( condition suffisante ) si x est différent de 1 dans un corps commutatif car 1/(x - 1) existe.
En dehors du cas x = 1, ça peut fonctionner de façon similaire si on est dans un anneau unitaire avec x - 1 inversible, mais sans commutativité multiplicative il faut être prudent sur l'écriture ( facteur inverse à gauche ou à droite?)
Il est nécessaire de toute façon de préciser dès le départ dans quel ensemble on fait les calculs, dans ce genre de question.
Ce n'est apparemment pas le cas d'après la réponse de Charles_mid.
Hélas.
Le mieux est de se placer d'emblée dans un corps commutatif, pour des calculs simples.
Alain
- Ophephe
- 15-04-2021 21:36:51
Bonjour,
Normalement, avec [tex]S_n = \sum\limits_{j=0}^n x^j[/tex] qui est simple à calculer ( par exemple dans \mathbb{C} ou dans un corps donné, en distinguant deux cas ) , tu dois trouver que le résultat final vaut [tex](S _n)^2 [/tex], sauf erreur.
Alain
Bonjour,
Je dirais comme Alain donc tu as en résultat: $$ \left( \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right)^2 $$
C'est une simple somme géométrique au carré a priori
- charlesmld
- 15-04-2021 17:58:00
L'exercice ne précise pas l'ensemble, j'imagine que c'est celui des entiers naturels...
- bridgslam
- 15-04-2021 14:24:02
Bonjour,
Comme dit auparavant il est facile d'exprimer en fonction de x la somme simple ( de droite) si tu veux une expression finale en fonction de x.
J'imagine que tu est de toute façon au moins dans un anneau unitaire pour que +, x , et la puissance 0 aient un sens.
Si tu est dans un corps ( R, C , Q , Z/pZ avec p premier ...) il est alors facile de terminer pour avoir l'expression finale en fonction de x suivant sa valeur. Sinon (x -1) n'est pas forcément inversible si on n'est pas dans un corps.
Au départ tu ne dis pas dans quel ensemble x se situe... sans doute le plus important pourtant.
Si x est une matrice carrée telle que I - x est inversible, par exemple, tu auras telle formule, si x = I tu en auras une autre etc.
La forme algébrique sera globalement la même si l'ensemble où on opère a des propriétés algébriques minimum, ainsi que x...
Après, je te laisse parachever la rédaction finale, pour ne pas tout te faire, ce qui n'est pas du tout le but de ce forum.
Alain
- charles_mld
- 15-04-2021 13:53:59
D'accord donc j'ai : [tex]\sum^n_{i=0}\sum^n_{j=0}\,x^{i+j} = (\sum^n_{i=0}x^i)^2[/tex]
Et ça suffit ?
- bridgslam
- 15-04-2021 11:07:02
...Je voulais dire dans [tex]\mathbb{C}[/tex] ou un corps donné, pardon j'ai omis les balises latex ... mea culpa
Alain
- bridgslam
- 15-04-2021 11:04:02
Bonjour,
Normalement, avec [tex]S_n = \sum\limits_{j=0}^n x^j[/tex] qui est simple à calculer ( par exemple dans \mathbb{C} ou dans un corps donné, en distinguant deux cas ) , tu dois trouver que le résultat final vaut [tex](S _n)^2 [/tex], sauf erreur.
Alain
- charles_mld
- 15-04-2021 10:48:04
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette somme, je ne connais pas la méthode pour ce genre de somme et j'ai un peu de mal à me les représenter, pouvez-vous me mettre sur la piste s'il-vous-plaît ?
[tex]\sum\limits_{0 \leq i,j \leq n}^{n} x^{i+j}[/tex]
Merci pour votre aide