Forum de mathématiques - Bibm@th.net

J'ai modifié sans les valeujrs absolues.. mais que A puisse dépendre de $j$ je n'y avais pas pensé...Alors que c'est évident..
Je vais me reposer..
A moins d'obtenir une meilleure majorattion de $A$ mais ça semble coton..
A bientôt

re,
Oui, je viens de voir qu'il y a au moins une erreur quelque part.. des valeurs absolues ici et là ..

A suivre..

Re,

Alors voilà ce que je propose, même si ce n 'est pas plus direct :

Soit la suite $(v_n)$ telle que pour tout $n$ entier  : $v_n=\dfrac  {u_{n+1}-\frac {2}{3}}  {u_{n}-\frac {2}{3}}$
Par construction de la suite $(u_n)$ : $u_0=0.3$ et $u_{n+1}=3u_{n}(1-u_{n})$, on obtient :
(E) : $\dfrac  {u_{n+1}-\frac {2}{3}}  {u_{n}-\frac {2}{3}}=1-3u_{n} $.

Après mulitiplication membre à membre de la formule ci dessus il vient :
${u_{n}-\frac {2}{3}}=({u_{0}-\frac {2}{3}}) \prod_{i=0}^{n-1} (1-3u_{i}) $.

Or il se trouve que pour tout entier $p$, connaissant $u_{2p+1}$ en fonction de $u_{2p}$ :
$(1-3u_{2p})(1-3u_{2p+1})=-27u_{2p}^3+36u_{2p}^2-12u_{2p}+1$
Alors $ -1<(1-3u_{2p})(1-3u_{2p+1})<1$
           $\Leftrightarrow -27u_{2p}^3+36u_{2p}^2-12u_{2p}+1<1$
           $\Leftrightarrow -3(2-3u_{2p})^2u_{2p} <0$
           $\Leftrightarrow  0<u_{2p}<\frac {2}{3}$  ou $\frac {2}{3}<u_{2p}<\beta$, où $\beta \gt 0.95$

Lorsque  $u_{2p}=\frac {2}{3}$ c'est la suite constante.

En reprenant (E) il vient :
pour tout $j$ entier  :
${u_{2j}-\frac {2}{3}}=({u_{0}-\frac {2}{3}}) \prod_{p=0 \atop i\in {2p}}^{p=j-1}  (1-3u_{i})(1-3u_{i+1}) $.

Or d'après ce qui précède, il existe $-1<A<1$ tel que $A=Sup_{i \in [1;2j-2]} (1-3u_{i})(1-3u_{i+1})$

Finalement : ${u_{2j}-\frac {2}{3}}<A^{2j}(u_0-\frac {2}{3})$
Et comme $\lim\limits_{j \to \infty} A^{2j}=0$, il vient :

$\lim\limits_{j \to \infty} u_{2j}= \frac {2}{3}$

C'est à cause de la formule de récurrence : $v_{n+1}=f\circ f(v_n)$.

F.

Re,

Si une suite est définie par une relation de la forme $x_{n+1}= g(x_n)$, et que cette suite converge vers $\ell$ alors $\ell$ est un point fixe de $g$ (il faut que $g$ soit continue en $\ell$).

C'est ce que j'utilise ici...

Si $u_0$ n'est pas dans $[0,1]$, je pense qu'il est facile de montrer que la suite diverge vers $-\infty$. Pour moi, il était clair qu'on ne s'intéressait qu'au cas $u_0\in ]0,1[$.

Roro.

Bonsoir,

Voici une preuve de la convergence de la suite :

On note $f(x)=3x(1-x)$ et la question est de savoir si la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0.3$, $u_{n+1}=f(u_n)$ est convergente.

Préliminaires : on remarque que
$$
\begin{aligned}
&(1) \qquad && f(f(x)) - x = 27x\Big( \frac{2}{3}-x \Big)^3 \\
&(2) \qquad && f(f(x)) - \frac{2}{3} = -27\Big( x-\frac{2}{3} \Big)\Big( x-\frac{1}{3} \Big)\big( x-x_+ \big)\big( x-x_- \big)
\end{aligned}
$$
où $x_\pm = \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt 5}{6}$.

On note $v_n=u_{2n-1}$. Cette suite vérifie $v_1=u_1=0.63$ et $v_{n+1}=f(f(v_n))$. Il est facile de montrer, à partir de (1) et (2), que si 
$\frac{1}{3} < v_n < \frac{2}{3}$ alors $\frac{1}{3} < v_n < v_{n+1} < \frac{2}{3}$. On en déduit que la suite $(v_n)$ est croissante majorée. Elle converge donc vers un point fixe de $f\circ f$ qui ne peut être que $\frac{2}{3}$.

On note $w_n=u_{2n}$. Cette suite vérifie $w_1=u_2=0.6993$ et $w_{n+1}=f(f(w_n))$. Il est facile de montrer, à partir de (1) et (2), que si 
$\frac{2}{3} < w_n < x_+\approx 0.87$ alors $\frac{2}{3} < w_{n+1} < w_n < x_+$. On en déduit que la suite $(w_n)$ est décroissante minorée. Elle converge donc vers un point fixe de $f\circ f$ qui ne peut être que $\frac{2}{3}$.

Finalement la suite $(u_n)$ est bien convergente et a pour limite $\displaystyle \frac{2}{3}$.

Roro.

P.S. Je pense qu'il est difficile d'utiliser le fait que les deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont adjacentes car il ne me parait pas simple de voir que $w_n-v_n$ tend vers $0$. C'est d'ailleurs ce qu'on remarque sur les figures et ce que dit Bernard-maths dans son dernier commentaire : l'écart entre deux termes successifs décroît très lentement.

P.P.S Cette méthode fonctionne quelque soit la valeur de $u_0$ (sauf $u_0=0$ ou $u_0=1$) car à partir d'un certain rang, on aura $u_n\in (1/3,x_+)$.

Bonsoir,

je suis d'accord ! Mais cela ne prouve pas la convergence ...
Et en plus il semble qu'elles convergent vers 2 limites distinctes ... ?

J'ai fait une simulation Excel, aussi.

Et en plus, il semble que ça dépende de u(o) ... ?

Quand je repense aux diagramme des valeurs d'adhérence, je crois que ce problème est plutôt complexe ...

Et en plus Cédrix est muet ...

A plus, Bernard-maths

re,

par exemple $u_0=0.65$ ? avec mes petites connaissances en Python acquises grâce à yoshi ..

Dans ce lien :
https://pynative.com/online-python-code … thon-code/

on peut copier coller ce code et changer les paramètres ..

u = 0.30 #on intialise u au premier terme de la suite / Ici la suite des indices pairs
index = 0   # le premier terme est de rang 0
print("u(",index,")=",u) # on affiche u
while index <= 20000: #tant qu'on n'a pas atteint le rang 20000
    u = 3*u*(1-u)   # ...on calcule le terme suivant
    index = index + 1 # on passe au rang suivant
    print("u(",index,")=",u) # on affiche u

Et une variante pour ceux qui veulent tester les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$
Dans le code suivant je teste la suite $(u_{2n+1})$

u = 0.63 #on intialise u au premier terme de la suite
index = 1   # le premier terme est de rang 0  ou 1 suivant la suite extraite
print("u(",index,")=",u) # on affiche u
while index <= 20000: #tant qu'on n'a pas atteint le rang 20000
    u = 3*u*(1-u)   # ...on calcule le terme suivant
    u = 3*u*(1-u)   # ...on calcule le terme suivant du terme suivant
    index = index + 2 # on passe deuxième rang suivant
    print("u(",index,")=",u) # on affiche u