Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 18-03-2021 12:26:24
Bonjour,
Les sous-groupes d'un groupe forment un treillis par rapport à la relation ( d'ordre ) inclusion, car sup( H,H') existe, c'est le sous-groupe engendré par leur réunion et inf (D,H') aussi ( je te laisse deviner), au sens de l'inclusion.
Mais la notion de est valable dès qu'on a une relation d'ordre avec le même principe.
Pour les groupes c'est un cas particulier.
Ahren fells je suis plus sûr de l'ortaugraf... faudra vérifier :-)
Cordialement,
Alain
- Tougue
- 17-03-2021 18:49:40
Ahren Fells, Arnaudiès- Fraysse; c'est noté.
C'est marrant, j'ai vu l'intégrale de Lebesgue (je présume que c'est ce à quoi tu faisais allusion) dans mon cours d'intégration et théorie de la mesure, et (en vitesse) la notion de treillis dans celui de groupes (s'il s'agit de la même notion), et ne perçois dans l'immédiat pas comment ces choses sont liées ^^. Et hop, un sujet de plus de plus à soumettre à Dr.Google XD.
Merci encore,
T.
- bridgslam
- 17-03-2021 18:24:23
Bonsoir,
Par les coupures de Dedekind ou les sections commençantes de [tex]\mathbb{Q}[/tex], ce qui revient à peu près au même ( et même plus simple à mon sens avec les sections commençantes ) on se sert directement de la relation d'ordre naturelle.
La construction à base de suites de Cauchy a le mérite d' être généralisable à un espace métrique, on aboutit au "complété", en jouant sur la distance seulement. L'espace dont on est parti devient alors un sous-espace métrique du nouveau, de plus dense partout.
Enfin on montre que ce complété est unique à isomorphisme près.
( les espaces vectoriels normés munis en plus d'une relation d'ordre compatible ça existe aussi, mais c'est véritablement intéressant quand il s'agit d'espaces vectoriels de fonctions, et quand ils forment des treillis, utiles à certaines théories de l'intégration un peu plus poussées que Riemann ).
Disons que de base un espace métrique n'est pas essentiellement muni d'un ordre.
Enfin un théorème plus difficile ( Ahren Fells, plus sûr de l'orthographe mais je dois être à un [tex]\epsilon[/tex] près :-) prouve que tout espace métrique peut être vu comme un espace vectoriel normé !!
Alain
- Tougue
- 17-03-2021 17:58:13
Bonjour,
oui d'accord, j'avais bien senti que le mot "converge" était d'usage probablement problématique dans ce cas, d'où les guillemets. Merci en tous les cas pour tes apports. Pour le moment, je n'ai que survolé la construction des réels, que ce soit par les coupures de Dedekind ou les classes de suites de Cauchy, et les choses sont encore floues (!). Je vais donc prendre mon mal en patience et laisser tout ceci mûrir à son rythme, en revenant de tant à autres sur ce qui a été dit ici.
Bien cordialement,
T.
- bridgslam
- 17-03-2021 13:36:06
Et là c'est encore prématuré de dire cela ( j'avais lu trop vite ):
" .... dont on peut construire des suites qui convergent'' (à l'aide d'epsilonneries sur la métrique usuelle''...) vers des objets inconnus, ..."
Elles ne convergent pas vers des objets, puisqu'ils ne sont pas définis dans Q, ce sont juste là encore des classes de suites de Cauchy,
et les epsilonneries ne servent qu'à cela, il n'a alors pas (encore) d'histoire de convergence, sauf pour le noyau ( mais 0 est dans Q), et le noyau est le réel 0.
Excuses j'avais lu en peu vite...
Alain
- bridgslam
- 17-03-2021 13:28:54
Bonjour,
Tu l'as bien résumé et c'est cela essentiellement.
Dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] il y a une notion de suite de Cauchy et de suite convergente ( en restant dans cet ensembles).
On construit R par quotient dans l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles (mais il y a d'autres moyens, celui est intéressant car il se base sur la distance entre deux réels, et il est généralisable aux espaces métriques par un procédé quasi-identique).
On peut définir aussi des notions de suites convergentes ou de Cauchy dans des groupes ordonnés vérifiant de bonnes propriétés ( voir Arnaudiès- Fraysse), où dans un cas multiplicatif l 'expression [tex]| x - y | [/tex] est à remplacer par [tex] Max( x/y, y/x )[/tex] etc.
Ensuite ( mais [tex]\mathbb{R}[/tex] a alors été construit ) , on remarque que tout rationnel peut être vu naturellement comme un réel.
Les suites précédentes dans Q sont des suites réelles, elles convergent ( dans R ) vers un réel unique, qui est celui qu'elles définissent.
Il faut voir qu'il y a égalité entre classes d'équivalence sur les suites rationnelles et les réels, par définition.
Dire telle suite de Cauchy de rationnels "représente" tel réel est déjà un peu biaisé.
Si tu oublies ce mot "représente" ça devient plus simple: égalité entre un ensemble_quotient et R, plus exactement on appelle R l'ensemble-quotient construit ad-hoc. L'avantage est que cet ensemble-quotient se base sur des objets connus.
Le côté fort, aussi) ( sorte de clôture pour cette construction ) est que si on répète sur R la construction faite pour Q, on n'obtient rien de plus que R.
Alain
- Tougue
- 17-03-2021 09:43:15
Salut,
Merci pour ta réponse. C'est probablement parce que je suis pas encore assez familier avec le sujet que ma première assertion me semble avoir des airs de circularité.
~Au départ, pour une suite dans $\mathbb{Q}$, il n'y a pas de notion de convergence "à cheval" entre les rationnels, alors seuls connus, et les réels qu'on a voulu fabriquer avec.
Donc, moralement :
$\mathbb{\bullet}$ on commence par n'avoir que les rationnels,
$\mathbb{\bullet}$ dont on peut construire des suites qui "convergent" (à l'aide d'epsilonneries sur la métrique "usuelle"...) vers des objets inconnus,
$\mathbb{\bullet}$ on considère chacun de ces inconnus comme étant représenté par la suite qui le pointe du doigt,
$\mathbb{\bullet}$ on appelle chacune de ces suites un "réel";
$\mathbb{\bullet}$ on se rend compte que tout rationnel pour être aussi représenté de cette manière.
Ainsi
"toute suite de Cauchy de rationnels converge dans $\mathbb{R}$ vers le nombre réel qu'elle représente"
=
"toute suite de Cauchy de rationnels représente un truc, et converge dans l'ensemble des ces trucs vers son truc".
(excuse ma vulgarité)
Si c'est à peu près correct, je n'arrive pas à me défaire de l'impression que le derrière le le mot "représente" on cache celui de "convergence", auquel cas une preuve (du lemme 5) me semble superflue: ce serait vrai par définition de ce qu'est un réel.
Bien à toi,
Tougue
- bridgslam
- 16-03-2021 20:04:04
Bonjour,
C'est une question très intéressante.
La première de tes deux assertions est vraie: à isomorphisme près les rationnels sont des réels particuliers et effectivement, comme suite de rationnels de Cauchy dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] , elle converge comme suite d'éléments de [tex]\mathbb{R}[/tex] vers l'élément de [tex]\mathbb{R}[/tex] qu'elle représente.
C'est alors aussi une suite de Cauchy dans [tex]\mathbb{R}[/tex], d'ailleurs ( fait général CV => Cauchy ).
Mais au départ, comme suite dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] il n'y a pas de notion de convergence "à cheval" entre les seuls rationnels connus et justement les réels qu'on a voulu fabriquer avec.
La deuxième n'a pas de sens au sens strict (surtout la deuxième partie de la phrase). Quand on est dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] , ce n'est que quand les réels ont été construits qu'on peut parler de convergence ( dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ). Brutalement tu ne peux pas dire qu'une suite de rationnels converge vers quelque chose d'extérieur, la convergence est une notion interne ( d'ailleurs les [tex]\epsilon[/tex] pour exprimer cauchy dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] sont aussi des rationnels, forcément ) .
cordialement,
Alain
- Tougue
- 16-03-2021 15:57:14
Bonjour,
Selon ce qui est développé ici (lemme 5) par exemple, "toute suite de Cauchy de rationnels converge dans $\mathbb{R}$ vers le nombre réel qu'elle représente"; mais n'est-ce pas exactement dire que "toute suite de Cauchy de rationnels converge dans $\mathbb{R}$ vers le nombre réel vers lequel elle converge"?
Si l'on pas démontré que toute suite de rationnels de Cauchy converge vers un réel, et que l'on admet que par construction tout réel $x$ est représenté par une suite de Cauchy de rationnels, a-t-on l'assurance que, réciproquement, toute suite de Cauchy de rationnels prise arbitrairement est un représentant d'un réel?
En vous remerciant d'avance pour vos éclaircissements,
T.