Répondre

bridgslam · 13-03-2021 17:27:25

Bonjour,

Je pense au final aussi que la formulation de la question doit t' inciter à utiliser une récurrence directe ( forte ) sur l'ordre du groupe.
Si la question ne se limite pas là, si l'ensemble des H est vide, c'est là que ça se complique, mais je ne sais pas s'il y a une suite à ton exo.
Peux-tu nous en dire plus ?

Alain

bridgslam · 13-03-2021 13:45:16

Re-bonjour,

Il y a aussi un moyen ( assez) simple et rapide de montrer le résultat par récurrence sur le cardinal de G, mais il faut connaître tout de même les groupes-quotients. De toute façon les structures-quotients et les morphismes sont souvent les meilleurs piliers pour montrer ce genre de résultats, en tous cas de façon rapide. Je crois aussi que sur ce même forum une approche avec le principe des bergers du même problème a été traité ce mois-ci. On passe alors plutôt par le ppcm, en raisonnant par l'absurde. Mais tout cela est un peu bonnet-blanc / blanc-bonnet.

Alain

bridgslam · 13-03-2021 10:02:51

Bonjour,

Pour préciser mon post #3 on peut détailler la partie 3 de la façon suivante, en effet j'ai été un peu rapide et ce n'est pas si facile:

L'ensemble [tex]\mathcal{H}[/tex] vérifie la propriété évidente que si un sous-groupe H' de G contient un élément H de [tex]\mathcal{H}[/tex],
il appartient aussi à [tex]\mathcal{H}[/tex], s'il n'est pas égal à G. En effet p divisant l'ordre de H qui divise ( en tant que sous-groupe, th. de Lagrange en renfort) l'ordre de H', p divise bien sûr l'ordre de H' par transitivité.

Dans le cas 3 du post #3, considérons un sous-groupe [tex]H_{max}[/tex] de [tex] \mathcal{H} [/tex] d'ordre maximum ( < celui de G forcément car non trivial par définition).
Alors soit g un élément de [tex] G \backslash H_{max}[/tex]. Par hypothèse du cas 3, je rappelle que son ordre n'est pas divisible par p.

Le sous-groupe de G [tex] F = < H_{max} , g >[/tex] contenant [tex] H_{max}[/tex], il appartient à [tex]\mathcal{H}[/tex] ou bien il est égal à G, car il est de cardinal supérieur str. à celui de [tex] H_{max}[/tex] ( car il contient en plus g ) .

Donc par définition de [tex] H_{max}[/tex], F = G.

Tout élément de G ( leur quantité est un multiple de p ) étant de la forme du produit d'un élément de [tex] H_{max}[/tex] par un élément de <g> , on voit qu'on a un gros souci sur les cardinaux, on en a un multiple de p dans [tex] H_{max}[/tex] mais pas un multiple de p dans <g>.

C'est donc contradictoire.

Alain

bridgslam · 12-03-2021 18:25:38

Bonjour,

Une autre façon de procéder ( dans le cas commutatif qui nous occupe ici ) très rapide consiste à remarquer que G est engendré par une nombre fini d'éléments [tex]x_i[/tex] et alors ( grâce à la commutativité ) , on a un morphisme surjectif f du produit cartésien [tex]\Pi[/tex] des [tex]<x_i>[/tex] vers G, ce produit cartésien étant muni de la loi de groupe produit.
Alors en quotientant par le noyau de f, on voit que [tex]Card( \Pi )= card(G) . card Ker(f) [/tex] .
Donc p premier qui divise Card(G) divise donc le Cardinal de [tex]\Pi[/tex] , qui n'est autre que le produit des ordres des groupes cycliques
[tex]<x_i>[/tex], donc forcément p divise au moins l'un deux ( du fait d'être premier).
Mais un groupe cyclique dont l'ordre est un multiple de p admet un sous-groupe d'ordre p ( et un seul d'ailleurs, que p soit premier ou non).
Donc G admet un élément d'ordre p.

On a une propriété similaire dans le cas non commutatif, moins évidente.

Alain

bridgslam · 12-03-2021 16:11:19

Bonjour,

Raisonnons en examinant plusieurs possibilités ( toutes ).

1- Si G est cyclique d'ordre pq , donc isomorphe à [tex]\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}[/tex], eh bien q est bien un élément d'ordre p.

2- Supposons G non cyclique .

- si il existe un élément g dont l'ordre o est multiple de p , o = pu , alors [tex]g^{pu} = e = (g^u)^p [/tex] et par ailleurs on est sûr que [tex]g^u \ne e [/tex] car g est d'ordre pu. C'est donc gagné dans ce cas aussi.

- Si pour tout g, l'ordre de g n'est pas un multiple de p, on aurait l'ensemble [tex]\mathcal{H} [/tex]des sous-groupes H de l'énoncé qui serait vide, sinon il existerait ( à détailler ) un H=<g> distinct de G ( car G non cyclique ), et le cardinal de H=<g> serait un multiple de p, donc l'ordre g aussi.
Comme par hypothèse cette ensemble [tex]\mathcal{H} [/tex] est non vide, ce cas est à éliminer.

Tu peux chercher à détailler complètement ce troisième cas pour être plus précis que moi.

Alain

Fred · 11-03-2021 19:58:39

Bonjour,

Je ne comprends pas trop les hypothèses : si $G$ est un groupe abélien fini, et si p est un diviseur premier de l'ordre de G, alors G contient un élément d'ordre $p$ : c'est le lemme de Cauchy. Il existe des démonstrations classiques par opération de groupes (mais difficiles à imaginer si on n'a pas d'indications).

F.

Linaben123 · 11-03-2021 17:08:24

Bonjour,

soient G un groupe abélien fini non trivial et p un nombre premier qui divise l'ordre de G . On note H l'ensemble des sous groupes non triviaux de G.
S'il vous plait aider moi à montrer que s'il existe h appartient à H tel que p divise l'ordre de h alors il existe g appartient à G d'ordre p.

merci d'avance.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Répondre

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Pied de page des forums