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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Lili066
- 21-02-2021 10:34:15
Il n'y a pas de soucis ! Tu m'aides déjà énormément ...
Merci à vous tous pour le temps pris à me répondre ! :)
- Chlore au quinoa
- 20-02-2021 23:48:28
Je retourne me coucher... j'avais compris base de $\mathbb{R}_2[X]$ pas de $\text{Im}(f)$. Ça fait plusieurs fois cette semaine que je fais ce genre de connerie, il n'y a pas d'autre mot.
Je suis vraiment navré de t'avoir embrouillée Lili, tout ce que tu as fait est juste du coup ; et merci beaucoup Roro...
Bonne soirée,
Adam
- Roro
- 20-02-2021 18:13:58
Bonsoir,
Je mets encore mon grain de sel dans cette histoire :
EDIT : En fait c'est faux !!!! J'ai eu un moment d'absence mais l'image d'une famille génératrice est génératrice si et seulement si $f$ est surjective !
Non, c'est bien correct : enfin ça dépend de quoi on parle. Ici il n'est pas question de montrer que $f$ est surjective mais de trouver son image. Et il est bien exact de dire que si une application $f$ est linéaire de $E$ dans $F$ et que $(e_i)_{1\leq i \leq n}$ est une base de $E$ alors $(f(e_i))_{1\leq i \leq n}$ sera génératrice de $\mathrm{im}(f)$.
Reste plus qu'à vérifier que la famille $(f(e_i))_{1\leq i \leq n}$ est libre pour affirmer que c'est une base de $\mathrm{im}(f)$ (mais pas forcément de $F$ si $f$ n'est pas surjective...).
Roro.
- Chlore au quinoa
- 20-02-2021 17:39:39
Si tu comprends sans mon indication tant mieux !
Pas mal le coup de l'image d'une base... mais est-ce dans ton cours ? Je ne suis pas sûr de ça...du coup tu sais le démontrer que l'image d'une base est génératrice de $\text{Im}( f) $ ?
Mais l'idée est là !
EDIT : En fait c'est faux !!!! J'ai eu un moment d'absence mais l'image d'une famille génératrice est génératrice si et seulement si $f$ est surjective !
- Lili066
- 20-02-2021 17:33:49
Une piste pour t'aider : te ramener à $\mathbb{R}^3$. En effet il y a isomorphisme entre $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}_2[X]$, il suffit de prendre uniquement les coefficients des polynômes.
Du coup l'application peut être vue comme $g\,:\,\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$
$(a,b,c)\mapsto$______Je te laisse compléter l'application... Travailler dans $\mathbb{R}^3$ sera plus simple pour toi je pense :)
Ensuite tu n'auras plus qu'à trouver son image, et ramener les 3 coordonnées à des coefficients devant des $X$ ou $X^2$ !
Adam
Merci pour ton aide, mais je n'ai pas trop compris, par exemple pour l'application, (a,b,c) -> ??
Du coup, j'ai réfléchis aux anciens messages et voici ce que j'ai écris :
On sait que [tex](1,X,X^2)[/tex] est une base de [tex]R_{2}[X][/tex] et donc que [tex]f(1), f(X), f(X^2)[/tex] est une famille génératrice de Im(f).
Et [tex]f(1)=1 ; f(X)= 0 ; f(X^2) = -X^2[/tex]
Or, f(X) peut s'écrire avec la combinaisons linéaires des autres (on aurait pu dire f(1) aussi non ?), la famille déjà génératrice est donc f(1) et [tex]f(X^2)[/tex].
La base de Im(f) est alors 1, [tex]-X^2[/tex]
Je corrige, une des bases ...*
Bonjour,
Si tu veux exprimer l'image de ton application, tu peux aussi reprendre ce que j'écrivais. On avait trouvé :
Roro a écrit :$$\mathrm{im}(f) = \{\alpha X²+\beta, ~ \alpha, \beta \in \mathbb R\}.$$
Ceci exprime le fait que tous les éléments de $\mathrm{im}(f)$ sont exactement les combinaisons des polynômes $X²$ et $1$. Ces deux polynômes étant indépendants, ils forment une base de $\mathrm{im}(f)$.
Roro.
Je retrouve donc bien ton résultat.
- Roro
- 20-02-2021 16:54:05
Bonjour,
Si tu veux exprimer l'image de ton application, tu peux aussi reprendre ce que j'écrivais. On avait trouvé :
$$\mathrm{im}(f) = \{\alpha X²+\beta, ~ \alpha, \beta \in \mathbb R\}.$$
Ceci exprime le fait que tous les éléments de $\mathrm{im}(f)$ sont exactement les combinaisons des polynômes $X²$ et $1$. Ces deux polynômes étant indépendants, ils forment une base de $\mathrm{im}(f)$.
Roro.
- Chlore au quinoa
- 20-02-2021 12:17:03
Une piste pour t'aider : te ramener à $\mathbb{R}^3$. En effet il y a isomorphisme entre $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}_2[X]$, il suffit de prendre uniquement les coefficients des polynômes.
Du coup l'application peut être vue comme $g\,:\,\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$
$(a,b,c)\mapsto$______
Je te laisse compléter l'application... Travailler dans $\mathbb{R}^3$ sera plus simple pour toi je pense :)
Ensuite tu n'auras plus qu'à trouver son image, et ramener les 3 coordonnées à des coefficients devant des $X$ ou $X^2$ !
Adam
- Lili066
- 20-02-2021 11:16:23
Bonjour, du coup je n'arrive pas à comprendre comment Bridglsam trouve [tex] Im( f) = vect ( { 1 , X^2 } ) [/tex].
Je pensais avoir répondu à la question, avec la réponse soulevée par Roro.
- yoshi
- 19-02-2021 12:02:54
Re,
@ Chlore au quinoa
Je plussoie...
@ bridglsam
Cher membre, vu ton niveau, puis-je te suggérer de t'intéresser au Code Latex, parce que, là, ça fait un peu... "indigent"
Yoshi
- Modérateur -
- Chlore au quinoa
- 19-02-2021 11:43:12
Alain,
J'interviens parce que tu es en train de donner la réponse à Lili... Le but est de guider les gens, pas de leur apporter des solutions !!
Je te suggère de modifier ton commentaire et de remplacer les réponses par des indications ;)
Amicalement,
Adam
- bridgslam
- 19-02-2021 10:27:25
Bonjour,
Tu dois trouver que Im( f) = vect ( { 1 , X^2 } ) donc de dimension 2 visiblement,
puis ker ( f ) = vect( {X}) lui de dimension 1 (droite vectorielle )
2 + 1 = 3 normal comme d' habitude d'après le théorème du rang ( si tu ne trouvais pas cela, l'erreur serait certaine )
Cordialement
Alain
- Lili066
- 19-02-2021 09:30:38
Bonjour, voici l'énoncé exact :
Exercice 5 : application linéaires dans l'espace des polynômes :
Soit f l'application linéaire définie par f :
[tex]f:R_2[X]→R_2[X], P↦P−XP′[/tex]
1) Montrer que f est bien une application linéaire.
Soit [tex]P \in R^{2}[x][/tex]
2) Déterminer Q=f(P).
3) Déterminer Ker(f). L'application f est-elle un isomorphisme ?
Donc oui pour la question 2 j'ai commencé la démarche, mais cela ne correspondait pas du tout à ce qu'il était expliqué dans votre exercice que j'ai cité.
- Roro
- 18-02-2021 23:31:26
Bonsoir,
Bon, tu ne veux pas donner l'énoncé exact... mais on le devine facilement. Ça cache quand même une incompréhension sur les questions.
On doit certainement te demander l'image de l'application $f$ et donc l'ensemble $f(\mathbb R_2[X])$, c'est-à-dire l'ensemble $\{f(P), ~P \in \mathbb R_2[X]\}$.
Une fois que tu auras mieux compris la différence entre $f(P)$ (qui est un polynôme), et $\mathrm{im}(f) = \{f(P), ~P \in \mathbb R_2[X]\}$ qui est un sous-ensemble de l'ensemble des polynômes, tu te rendras compte que tu as répondu à la question dans ton premier post :
$$\mathrm{im}(f) = \{-aX²+c, ~ a, c \in \mathbb R\},$$
que tu pourras aussi écrire
$$\mathrm{im}(f) = \{\alpha X²+\beta, ~ \alpha, \beta \in \mathbb R\}.$$
Après, tout dépend de ce qu'on te demande exactement de faire...
Roro.
- Lili066
- 18-02-2021 21:52:43
Salut :)
Je pense que oui, mais la question est posée comme je l'ai indiqué. Mais j'ai écris plus haut ce que j'en ai compris, et donc oui pour moi cela revient à calculer l'image de f, c'est d'ailleurs ce que j'ai essayé de faire.
- Chlore au quinoa
- 18-02-2021 20:15:16
Salut je me permets d'intervenir !
On ne te demande pas de déterminer l'image de $f$ par hasard ?
Adam