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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Chloe75
- 19-02-2021 22:02:30
Salut Yoshi,
Désolée, je voulais faire gagné du temps... c'était sur des bonnes intentions.
Mais la prochaine fois pour aider je ferai plus attention aux règles du forum.
Bonne soirée.
Chloé
- yoshi
- 19-02-2021 14:55:28
Re,
NON, pas merci Chloé...
1. Tu as fait le boulot à sa place, ce faisant tu as contrevenu à nos Règles :
Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...
A ce niveau, pas de sentiment ! Tu irais voir un médecin, dont tu saurais qu'il a obtenu son diplôme parce qu'on a fait son boulot à sa place ?
2. En quoi lui as-tu rendu service ? En rien, c'est illusoire... La prochaine fois il va se retrouver dans la même problématique !
Aider ne veut pas dire faire le boulot à la place de l'autre, aider c'est mettre sur la voie...
Si Bill n'avait pas encore répondu, j'aurais "caviardé ta réponse", maintenant ça ne servirait plus à rien
Yoshi
- Modérateur -
- Bill
- 19-02-2021 14:24:00
Merci Chloé.
- Chloe75
- 19-02-2021 14:08:41
Bonjour,
voici ce que je te propose comme solution:
1. Tout d'abord il est évident que $\phi$ est une forme linéaire. Pour tout $f \in E$, $|\phi(f)|=|\int_0^1 f(t)dt - \int_{-1}^0 f(t)dt|\leq \int_0^1 |f(t)|dt + \int_{-1}^0 |f(t)|dt \leq 2||f||_{\infty}$, ce qui montre que $\phi$ est continue et vérifie $|||\phi||| \leq 2$. Soit $f_n$ la suite de fonctions définie dans l'énoncé. Alors un calcul rapide montre que : $|\phi(f_n)| = 2 - \frac{1}{n} \longrightarrow 2$, tandis que $||f_n||_{\infty} = 1$ pour tout $n$. Ainsi, par définition de la norme triple, $|||\phi||| \geq lim \frac{\phi(f_n)}{||f_n||_{\infty}} = 2$, et on a bien égalité.
2. Supposons qu'il existe $f \in E$ de norme 1 tel que $|\phi(f)|=2.$ Quitte à changer $f$ en $-f$, on peut supposer que $\phi(f)=2$, c'est-à-dire: $\int_0^1 (1-f(t)dt + \int_{-1}^0 (f(t)+1)dt =0.$
Les fonctions $1+f$ et $1-f$ étant positives car $||f||_\infty =1$, on en déduit que $\int_0^1 (1-f(t)dt = \int_{-1}^0 (f(t)+1)dt =0.$ Comme de plus ces fonctons sont continues, sont continues, on doit avoir
$1-f(t)=0$ si $x \in [0,1]$ et $f(t) + 1=0$ si $x \in [-1,0]$.
Ceci conduit à une contradiction en t=0. Il n'existe donc pas de tel $f$.
Bon courage.
Chloé
- Bill
- 19-02-2021 13:03:22
Bonjour,
Je viens de démarrer une série d’exercice sur les notions de base de la topologie; dans le lot, y’a un exercice que je sèche complètement, et puisque mon prof est inaccessible en moment. C’est la galère totale. J’ai donc besoin d’aide.
Soit $E = C^0([−1, 1], \mathbb{R})$, muni de la norme $∥ · ∥_∞$. On munit $\mathbb{R}$ de la valeur absolue. On définit pour $f \in E$, $\phi (f) =\int_0^1 f(t)dt - \int_{-1}^0 f(t)dt.$
1. Montrer que $\phi$ est une forme linéaire continue sur $E$ et que $|||\phi||| = 2 $(pour l’égalité considerer la suite $f_n$ définie par $f_n(x) = −1$ si $x \in [−1,−1/n], f_n(x) = nx$ si $x \in [−1/n,1/n]$ et $f_n(x) = 1$ si $x \in [1/n,1]).$
2. Existe-t-il $f \in E$ de norme 1 tel que $|\phi(f)| = 2 ?$
Merci