Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » Espace vectoriel / Somme directe
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Lili066
- 16-02-2021 17:05:58
Merci beaucoup comme d'habitude. Bonne soirée également !
- Chlore au quinoa
- 16-02-2021 16:54:55
Re,
Alors oui c'est juste, et c'est bien justifié. Mais retiens qu'en maths le meilleur moyen de montrer que quelque chose ne marche pas, c'est de donner un contre-exemple. Par exemple $(0,1,-1)\in F\cap G$. Voilà donc pas de somme directe :) Mais tu as carrément donné un vecteur qui engendre la droite vectorielle de l'intersection de $F$ et $G$, au moins on peut pas dire que tu as bâclé le boulot ^^
Bonne soirée !
Adam
- Lili066
- 16-02-2021 16:40:39
Pour la somme directe, je dirais que non car si on prends le système suivant :
u=(x,y,z)
[tex]\left\lbrace\begin{matrix} x-y-z=0 & \\ x+y+z=0 & \end{matrix}\right. \rightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=y+z & \\ x=0& \end{matrix}\right. \rightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=0 & \\ y=-z& \\ z=z & \end{matrix}\right.[/tex]
Donc l'intersection de F et G est engendrée par u=(0,-1,1), ce vecteur est non nul donc la somme n'est pas directe
ps : merci pour le tuto :)
- Chlore au quinoa
- 16-02-2021 16:38:18
(mini tuto LaTeX : pour faire des indices comme ça : $u_1$ il faut faire u_1 :))
Re,
Bon la justification de la dimension 2 passe, tu as exhibé une base des 2 ensembles ! Bravo !
Ensuite pour que 2 s.e.v. soient en somme directe, il faut et suffit que leur intersection soit réduite au vecteur nul. Donc méthode :
Soit $\vec u \in F\cap G$
[...]
Donc $\vec u = (0,0,0)$
Bon courage !
Adam
- Lili066
- 16-02-2021 16:27:25
Salut, merci pour ta réponse rapide ! Effectivement ce n'est pas du tout correct... Je réessaye :
[tex](x,y,z)\in F \Leftrightarrow x = y+z \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=y+z & \\ y=y& \\ z=z& \end{matrix}\right.[/tex]
On a donc deux vecteurs : [tex]\vec{u}=(1,1,0)[/tex] et [tex]\vec{v}=(1,0,1)[/tex]
Soit : [tex](x,y,z) \in F \Leftrightarrow (x,y,z) = y\vec{u} + z\vec{v}[/tex]
u et v ne sont pas colinéaires, donc la famille génératrice trouvée et donc aussi une famille libre et (u,v) est une base de F.
Ensuite pour G, même méthode, je trouve la base (u1,v1) avec [tex]\vec{u1}=(-1,1,0)[/tex] et [tex]\vec{v1}=(-1,0,1)[/tex]
C'est mieux comme cela ? :)
- Chlore au quinoa
- 16-02-2021 12:54:21
Salut !
Question 1) je ne suis pas du tout convaincu. On est d'accord que $F$ est inclus dans $\mathbb{R}^3$ ? Même strictement inclus ? La dimension devrait donc être inférieure...
D'ailleurs regarde ta "base" : $\vec{v}-\vec{u}=\vec{w}$. Cette famille est peut-être génératrice mais certainement pas libre.
Question 2) Même remarque !!! Tu as cette fois-ci donné une base de $\mathbb{R}^3$ tout entier ! Prends juste la somme de tes 3 vecteurs. Ça te fait $(1,1,1)$, ce qui est plutôt différent de $(0,0,0)$ pour moi...
Avant de passer à la 3) je te suggère de reprendre les 2 premières !
Adam
- Lili066
- 16-02-2021 12:38:13
Bonjour, j'ai l'exercice suivant :
Soit F et G les sous espaces vectorielles de [tex]R^3[/tex] définis par :
[tex]F={(x,y,z)\in R^{3} / x -y-z=0}[/tex] et [tex]G={(x,y,z)\in R^{3} / x +y+z=0}[/tex]
1) Donner la dimension de F puis une base B de F.
La dimension de [tex]R^3[/tex] est 3, donc F a pour dimension 3 également.
Pour trouver une base B de F, on va donc chercher 3 vecteurs libres appartenant à F.
[tex]\vec{u}=(0,1,-1)[/tex]
[tex]\vec{v}=(1,1,0)[/tex]
[tex]\vec{w}=(1,0,1)[/tex]
Il n’existe aucunes combinaisons linéaires entre ces trois vecteurs, ils sont donc libres et forment une base de F.
2) Donner la dimension de G puis une base B’ de G
La dimension de [tex]R^3[/tex] est 3, donc G a pour dimension 3.
Pour trouver une base B de G, pareil on va donc chercher 3 vecteurs libres appartenant à G.
[tex]\vec{u1}=(1,0,0)[/tex]
[tex]\vec{v1}=(0,1,0)[/tex]
[tex]\vec{w1}=(0,0,1)[/tex]
Il n’existe aucunes combinaisons linéaires entre ces trois vecteurs, ils sont donc libres et forment une base de G.
3) Les s.e.v. F et G sont-ils en somme directe ?
Ici, je prends un vecteur [tex]\vec{u1}=(a,b,c)[/tex], avec :
[tex]\left\lbrace\begin{matrix} \vec{f} \in F -> \vec{f} = a\vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w}& \\ \vec{f} \in G -> \vec{f} = a1\vec{u1} + b1 \vec{v1} + c1\vec{w1}& \end{matrix}\right.[/tex]
Pour prouver que les deux espaces sont en somme directe, il faut prouver que les coefficients a,b,c sont égaux à 0 non ?
En remplaçant avec les valeurs trouvées précédemment, on a le système suivant :
[tex]\left\lbrace\begin{matrix} b+c = a1& \\ a+b=b1& \\ -a+c=c1& \end{matrix}\right.[/tex]
Mais à partir de là je ne sais plus trop quoi faire ..