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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Tmota
- 09-12-2020 23:26:29
Je vois !
Merci !
- Fred
- 09-12-2020 18:39:52
Bonjour,
Peut-être parce que, quitte à identifier les $b_k$ qui seraient égaux, ta fraction rationnelle s'écrirait
$$R(X)=\sum_{k=1}^l \frac{A'_l}{X+b'_l}$$
où les $b'_l$ sont tous distincts. En remettant au même dénominateur, on trouvera une décomposition de la forme
$$R(X)=\frac{P(X)}{\prod_{i=1}^l (X+b'_l)}$$
et là on voit clairement que la fraction n'a que des pôles simples.
F.
- Tmota
- 09-12-2020 18:25:17
Bonjour,
je suis bloqué sur une question d'un énoncé de concours pour lequel je ne saisis pas la démarche. La voici :
On considère un entier n>0 et deux suites finis $(a_k)$ et $(b_k)$ de réels telles que $a_j+b_k\neq 0$ pour tout indice $k$. On définit ensuite $D_m$ le déterminant de Cauchy et la fraction rationnelle :
$R(X)=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(X-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)}$
On suppose que R(X) s'écrit sous la forme
$R(X)=\sum_{k=1}^n\frac{A_k}{X+b_k}$
.
Il est dit :
Pour commencer, remarquons que comme $a_j+b_k\neq 0$ alors la fraction rationnelle $R$ est écrite sous forme irréductible. Tous les $-b_k$ sont bien des pôles de $R$.
En outre, l'existence d'une décomposition en éléments simples pour R de la forme :$R(X)=\sum_{k=1}^n\frac{A_k}{X+b_k}$
entraîne que tous les pôles de $R$ sont simples et par conséquent que les $(b_k)$ sont deux à deux distincts.
Je ne comprends pas le passage en gras !
Quelque chose m'échappe, pouvez-vous m'aider ?
Merci !