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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Maenwe
- 21-05-2020 21:23:26
Bonjour,
Concernant la 1ère question $F$ est un borélien, sachant que la tribu borélienne peut-être engendrée par $\{[a;b], (a,b) \in \mathbb{R} \land a \leq b \}$ et que pour tout intervalle, la somme d'un intervalle et d'un réel est encore un intervalle... C'est moins simple qu'avec l'argument de la fonction mesurable (qui se veut d'ailleurs un poil plus générale).Une rédaction bien propre passerait probablement par une récurrence mais un peu casse pied à rédiger.
En fait, je ne sais pas pourquoi on précise avec $q$ un rationnel puisque avec tout réel ça marche bien, même pour la stabilité de la mesure par translation.
- JohnSmith
- 21-05-2020 19:19:31
Bonjour,
Merci de vos réponses, par rapport à la première question, je ne vois pas trop en quoi les égalités avec les unions dénombrables nous aident à assurer que [tex]F+q [/tex] soit borélien...
Pour la seconde question je vais essayer d'utiliser le lemme des classes monotones comme vous le conseillez.
Bien cordialement
- Maenwe
- 21-05-2020 15:05:15
Bonjour,
Tu peux faire ça en utilisant le fait que pour toute suite de boréliens (et en fait partie de $\mathbb{R}$) $(A_n)_n$, on a :
$\cup_n (A_n + q) = (\cup_n A_n) + q$, et, $\cap_n (A_n+q) = (\cap_n A_n) + q$.
Et concernant la deuxième question, tu peux utiliser le lemme de Dynkin (enfin c'est plutôt l'une de ses conséquences), en posant $\lambda_0(A) = \lambda(A+q)$. (rappel : les intervalles sont des $\pi$-systèmes).
- JohnSmith
- 21-05-2020 14:36:28
Finalement en utilisant la continuité de l'application [tex]x\rightarrow x-q[/tex] et en remarquant que [tex]\phi^{-1}(F)=F+q[/tex] on obtient bien que [tex]F+q [/tex] est mesurable, cependant peut on le montrer sans utiliser de fonctions mesurables ? Et plus important comment montre-t-on que [tex]F+q [/tex] est de même mesure que [tex]F[/tex] ?
Merci d'avance de vos réponses,
Bien cordialement
- JohnSmith
- 21-05-2020 00:08:42
Bonjour,
Dans la correction de l'exercice 26 sur les tribus et mesures, il est utilisé sans détails que si un ensemble [tex]F[/tex] est borélien alors [tex]F +q[/tex] avec [tex]q[/tex] rationnel alors [tex]F +q[/tex] est également borélien et de même mesure (de Lesbegue ) que le premier. Cependant, bien que ces résultats semblent intuitifs, comment peut on les montrer rigoureusement?
Bien cordialement et merci d'avance de vos réponses.