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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Zebulor
- 07-06-2020 08:11:02
Rebonjour,
frustrant de constater que cette discussion s'arrête... son initiateur ayant mystérieusement disparu..
- Maenwe
- 16-05-2020 08:18:58
Et donc ça modifie ton raisonnement pour la suite non ?
- DavidBe
- 16-05-2020 08:17:19
Bonjour,
Effectivement, j'ai refais et finalement je trouve que [tex]\alpha>0[/tex] ou [tex]\beta >0[/tex]
- Maenwe
- 16-05-2020 08:14:18
Bonjour,
D'une part d'où tu tire que il faut nécessairement que $\alpha , \beta > 1$ pour que la suite converge vers 0 ? Essaye avec $\alpha = -1$ et $\beta =0.1$ tu vas voir, ça converge vers 0 ! Il faut que tu raisonnes méthodiquement, suppose que $\alpha > \beta$ alors $\frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta} \sim \frac{1}{k^\alpha}$, qu'en déduis tu quant à la convergence vers 0 de la suite lorsque $\alpha > \beta$ ?
- DavidBe
- 15-05-2020 22:24:16
Bonsoir !
Je pense que du coup forcément [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k\beta}[/tex] ne peut converger que vers 0 donc la conclusion est la même que pour la convergence absolue à savoir : il faut et il suffit que [tex]\alpha>1[/tex] ou [tex]\beta>1[/tex]
Par conséquent pour le 2) du CSA c'est la conclusion ci-dessus
e pour le 3) [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] sont obligatoirement positifs donc [tex]\alpha k^{\alpha-1} +2\beta k^{\beta-1}>0[/tex]
Donc finalement pour la série converge il faut que soit [tex]\alpha>1[/tex] et [tex]\beta>=0[/tex] ou [tex]\alpha>0[/tex] et [tex]\beta>1[/tex] ou [tex]\alpha >1[/tex] et [tex]\beta >1[/tex] ou [tex]\alpha=\beta>1[/tex]
- Maenwe
- 15-05-2020 17:39:03
Bonjour,
C'est vrai ça si $\alpha > 0$... Mais admettons que l'on ait supposé ceci, que peut tu dire de plus ? Pousse tes raisonnements plus loin ! A chaque fois tout ce que j'ai fait (et Zebulor) c'est de te corriger sur des détails techniques (à moins que ce soit récurrents ce genre de problèmes) tu peux aller jusqu'au bout du problème seul(e) avec cette seule indication : "utilise le CSSA" ;)
- DavidBe
- 15-05-2020 16:50:37
Rebonjour,
Justement pour le 2)
Si je veux que suite convergen 0 alors le dénominateur doit tendre vers [tex]\infty[/tex] non ?
Mais [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] sont des réels ...
Pour la 3)
j'étais arrivé à [tex]\alpha ^{\alpha -1} >= -2\beta k^{\beta-1}[/tex]
Donc [tex]\alpha >= -2\beta \frac{1}{k^{\alpha - \beta}}[/tex]
donc [tex]k^{\alpha -\beta} >= -\frac{2\beta}{\alpha}[/tex]
- Maenwe
- 15-05-2020 16:46:13
Bonjour,
C'est exacte pourrais tu aller plus loin dans ton analyse ?
- DavidBe
- 15-05-2020 16:38:26
Re,
Pour le CSA j'ai esayé de démontré les 3 choses:
1) la série est bien alternée
2) [tex]|u_k|->0[/tex] c'est à dire [tex]\frac{1}{|k^\alpha +2k^\beta|}[/tex] tend vers 0
or [tex]\frac{1}{|k^\alpha +2k^\beta|} = \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex]
Or là on a montré avat que pour que ça converge il fallait et il suffit que [tex]\alpha >1[/tex] et [tex]\beta >1[/tex] mais ici on veut que ça converge uniquement vers 0. Donc je sais pas comment m'y prendre
3) [tex]|u_k|[/tex] soit décroiante.
Je pose[tex] f(k)= \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex] [tex]f'(k)=-\frac{(\alpha k^{\alpha -1}+2\beta k^{\beta -1})}{({k^\alpha+2k^\beta})^2}[/tex]
Donc pour que f'(k) soit décrissante il faut que [tex]\alpha k^{\alpha -1}+2\beta k^{\beta -1} >=0[/tex]
Donc que [tex]\alpha k^{\alpha-1}>= -2\beta k^{\beta-1}[/tex]
- Zebulor
- 15-05-2020 14:56:57
Euh... non en effet. Je cherchais une éventuelle erreur..
- Maenwe
- 15-05-2020 14:54:33
Ah non pardon, je sais pas pourquoi j'ai pensé ça...
- Zebulor
- 15-05-2020 14:50:56
Bonjour Maewenn;
oula...bon si ça se trouve je raconte que des c.... à cause d'une erreur ..Maenwe je te laisse regarder si tu veux. Je vais me reposer.
- Zebulor
- 15-05-2020 14:46:51
Sauf que maintenant il faut que je m'occupe de la convergence de la série. ..
Tu as déjà commencé à le faire !!
On a pas traité tous les cas parce que la condition de convergence absolue n'est que suffisante et qu'elle traite moins de cas que le critère spécial.
D'où l'intérêt d'exploiter le critère spécial des séries alternées..
- Maenwe
- 15-05-2020 14:46:32
Bonjour,
Rectification, j'ai fais une grosse erreur, si (par exemple) $\alpha > \beta$ alors $\frac{1}{k^\alpha + 2 k^\beta } \sim \frac{1}{k^{\alpha-\beta }}$ ...
- DavidBe
- 15-05-2020 14:30:22
D'accord j'ai compris merci !
Sauf que maintenant il faut que je m'occupe de la convergence de la série. C'est donc là que je vais utiliser le CSA si j'ai compris