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Je comprends tout à fait et je vous remercie encore pour votre aide.
Je vais essayer ce que vous dites.

J'ai ouvert une nouvelle discussion pour ce sujet

Après je fais une équivalence en l'infini de [tex]\frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex]

Re,

Oui c'est exactement ce que je me suis dit dans ma tête !

D'accord j'ai beaucoup mieux compris comment on traitait la convergence des intégrales même si encore je n'arrive pas à prendre en compte tout et tout voir mais avec encore plus d'exercices j'espère y arriver. Ces intégrales n'étaient pas faciles pas rapport à d'autres que j'avais faites. C'est vrai que l'analyse faut penser à tout et c'est vrai qu'il faut aussi que je me pose les bonnes questions déjà savoir si je cherche le problème en 0 , +infini etc et après faire des équivalences en tenant compte de cela etc, utiliser les bonnes intégrales de références de Riemann...

Mais je voulais vous remercier pour votre implication, vos conseils, votre patience (beaucoup) et votre bienveillance. Et je sais pertinemment que j'ai progressé et que j'ai des bases plus fortes, merci !

Je voulais, juste si vous avez le temps et encore la patience finir par une convergence de série pour que je me rende compte de la différence entre étudier la convergence d'une intégrales et celle d'une série.
Si vous en avez envie je la pose : [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}
[/tex]

J'ai essayé dans dans mon livre d'en prendre une qui me semble pas très facile pour justement faire une "correspondance" avec les intégrales que nous avons traité.

Je commence:

Alors déjà contrairement aux intégrales, ici je cherche en l'infini.
Ce que je fais souvent pour discuter de la convergence d'une série, je commence par me demander si elle est absolument convergente et si elle est c'est gagné ! Ici je me doute aussi que la convergence et la convergence absolue va dépendre de [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex]

Convergence absolue:

[tex]|\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}| = \frac{|-1)^k|}{|k^\alpha + 2k^\beta|} = \frac{1}{|k^\alpha + 2k^\beta|}= \frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex]

En fait oui dans ma tête je me suis pas dit que je faisais en 0..
D'accord si je réponds à vos questions pour trouver la minoration (la bonne) de[tex] \alpha[/tex] en 0 .
Le terme qui domine au dénominateur est [tex]t^3[/tex]. Alors je pense que je dois tromper en disant cela mais ici je cherche en 0 donc un équivalent de [tex]t^3[/tex] serait peut être 0...
Cela voudrait dire que le dénominateur équivaut à 1 et le numérateur à [tex]t^\alpha[/tex].
Donc un équivalent en 0 de [tex]\frac{t^\alpha}{t^3+1}[/tex] est [tex]{t^\alpha}=\frac{1}{t^{-\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales de références de Riemann, [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{-\alpha}}dt[/tex] converge ssi [tex]-\alpha<1[/tex] donc ssi [tex] \alpha>-1[/tex]

Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex] converge en 0 ssi [tex]\alpha>-1[/tex]

On peut conclure par conséquent que [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex] converge ssi [tex]-1<\alpha<2[/tex]

Bonjour !

Oui exacte en fait je me suis trompée dans l'intégrale.
[tex]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] donc cela converge en l'infini ssi [tex]3-\alpha>1[/tex] donc [tex]\alpha<2[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] converge en l'infini ssi [tex]\alpha <2[/tex]

En 0 :

[tex]\frac{t^\alpha}{t^3 +1} \sim \frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales de références de Riemann, [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] converge ssi [tex]3-\alpha<1[/tex] donc ssi [tex]\alpha > 2[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] converge en 0 ssi [tex]\alpha >2[/tex]

Oui  excusez moi pour cette erreur d'étourderie.

Finalement là je n'ai traité que deux possibilités de [tex]\alpha[/tex]

Maintenant si [tex]\alpha != 1[/tex] et -1 :

Si je commence à m'occuper de l'infini :
[tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex]

On peut dire déjà que [tex]\frac{t^\alpha}{t^3 +1} < \frac{t^\alpha}{t^3}[/tex]

Si [tex] \alpha <0[/tex] alors  [tex]\frac{t^\alpha}{t^3} = \frac{1}{t^{3+\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemann : [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}[/tex] converge ssi [tex]3+\alpha>1[/tex]
Donc [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha >-2[/tex]
Or on a dit [tex]\alpha<0[/tex] donc si [tex]\alpha[/tex] appartient [tex]]-2,0[[/tex] alors [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3}dt[/tex] converge

Si [tex]\alpha >3[/tex] (l'idée que la puissance du numérateur domine sur celle du dénominateur)
alors [tex]\frac{t^\alpha}{t^3} \sim t^\alpha = \frac{1}{t^{-\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemann : [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{-\alpha}}dt[/tex] diverge
Donc si [tex]\alpha >3[/tex] alors [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3}dt[/tex] diverge

Si [tex]0<=\alpha<=3[/tex] alors
[tex]\frac{t^\alpha}{t^3} \sim \frac{1}{t^3}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemann :[tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^3}dt[/tex] converge
Donc [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3}dt[/tex] converge

Pour résumé en +infini:
si [tex]-2<\alpha<=3[/tex] alors [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex] converge

Re,

Oui oui excusez-moi j'ai mal rédigé, c'est encore un exercice très dur pour moi de penser à tous et rien oublier en étant le plus juste mais je vous remercie de me faire progresser vers cette voie.

D'accord donc je vais préciser et montrer que ma fonction est bien positive.

Oui ! Je me rends compte maintenant de la subtilité ! Il faut se dire que $\alpha$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Pour [tex]\alpha =1[/tex] en l'infinie on a vu que l'équivalent de [tex]\frac{t}{t^3 +1}[/tex] est [tex]\frac{1}{t^2}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemaan [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^2}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha>1[/tex]
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t}{t^3 +1}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha>1[/tex]

Pour [tex]\alpha =-1[/tex] en 0 on a vu que l'équivalent de [tex]\frac{t}{t^3 +1}[/tex] est [tex]\frac{1}{t}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemaan [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t}dt[/tex] diverge ([tex]\frac{1}{t}[/tex] est un cas limite)
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{0}^{1}\frac{t}{t^3 +1}[/tex] diverge.

re,
Beaucoup de choses.. je suis tatillon...
j'avais bien compris qu'implicitement tu pensais $t$ positif. Bien rédiger est un exercice difficile pour moi aussi parfois...
Idéalement çà donnerait : [tex]\forall t \gt 0, 0 \lt \frac{t^\alpha}{t^3 +1} < \frac{t^\alpha}{t^3} = \frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] (la fonction est positive).
Il faut bien préciser la positivité... parce que si tu prends $g(t)=-t^2$ ça ne marche plus.
Sur le fond tu n'as pas besoin de passer par ces inégalités car ce qui compte c 'est l'équivalent en l'infini avec le critère de Riemann. Elles sont une condition suffisante de convergence mais pas nécessaire...
Car tu peux tomber sur une fonction $h$ telle que : $h(t) \gt \frac{1}{t^3}$ pour certaines valeurs de $t$ positives, mais pour laquelle $\int_1^{+\infty}\,h(t),dt$ converge néanmoins.

Pour certaines valeurs de $\alpha$, la fonction à intégrer est continue sur $[0;+\infty[$. Mais quel soit $\alpha$, elle est continue sur $]0;+\infty[$ .. tu vois la subtilité ? l'analyse c est sans pitié..

Pour $\alpha=1$, oui .. et l'équivalent en l infinie est  $\frac{1}{t^2}$
Pour $\alpha=-1$, ton équivalent en 0 est donc $\frac{1}{t}$..
A toi de voir quelles sont les intégrales de référence et de conclure sur la nature de l'intégrale du 4 ans ces deux cas
je te renvoie à ceci : http://www.bibmath.net/formulaire/index … timpropres
au paragraphe intégrales de référence