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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 04-11-2019 10:49:32
Re-
Pour moi, je voulais dire que la fonction $f=\sum_n 1_{A_n}$ vérifie $\int f<+\infty$ d'après ton hypothèse et le théorème de convergence monotone. Donc elle est finie pp.
F.
- Maenwe
- 04-11-2019 08:34:24
Bonjour,
La piste que j'ai donné n'était pas très bonne alors en voici une nouvelle :
dire que $\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \mathbb{1}_{A_{k}}$ converge presque sûrement c'est dire que $liminf (A_{n}) = \cup_{n\geq 0} \cap_{k\geq n} A_{k}$ est négligeable. C'est à dire que $\mathbb{P}(liminf (A_{n})) = 0$, j'ai effectué les calculs et on aboutit donc je suis à peu près sûr de cette piste.
Une petite indication $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \mathbb{P}(A_{n}) = 0$.
- Kurenay
- 04-11-2019 03:09:37
Je n'arrive toujours pas à voir comment aboutir à ce résultat :/
- Fred
- 03-11-2019 06:35:46
Bonjour
Moi j’appliquerai le théorème de convergence monotone à la somme partielle.
F.
- Kurenay
- 03-11-2019 00:00:32
En utilisant la sous additivité, on a: [tex]\mathbb{P}(\bigcup_{n \geq 0}A_n) \leq \sum_{n \geq 0} \mathbb{P}(A_n)[/tex] mais je ne vois toujours pas
- Maenwe
- 02-11-2019 07:26:35
Bonjour,
As tu pensé à utiliser l'une des propriétés des mesures ? La sous-additivité par exemple...
Cordialement
- Kurenay
- 02-11-2019 00:49:06
Bonsoir,
On considère une espace probabilisé [tex](\Omega , \mathcal{A}, \mathbb{P})[/tex] et une suite d'événements [tex](A_n)_{n \geq 0}[/tex]
On admet que [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(A_n) < + \infty[/tex].
Montrer que [tex]\sum_{n=0}^{\infty}1_{A_n} < + \infty[/tex] presque surement.
[tex]\sum_{n=0}^{\infty}1_{A_n}(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{p=0}^n 1_{A_p}(x)[/tex]
Le cas ou les [tex]A_p[/tex] sont 2 à 2 disjoints est vrai car la limite sera égale soit à 0 soit à 1.
Mais pour l'autre cas, j'ai envie de dire que l'hypothèse signifie que x appartient à [tex]A_n[/tex] que pour un nombre fini de n mais c'est la définition de ce qu'on veut montrer, ça semble trop rapide...