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Fred · 25-09-2017 20:25:05

Je suis presque sûr que ce n'est pas le cas. Par exemple, en bricolant un exemple du type $\sin(x^3)/(1+x)$, on doit prouver que ce n'est pas vrai.
En revanche, ce que est vrai, c'est que si $f$ et $f^{(n)}$ sont bornées, alors $f^{(k)}$ est bornée pour tout $0\leq k\leq n$.

F.

B98 · 25-09-2017 18:59:14

Merci beaucoup pour ta réponse ! En fait je n'avais pas fait attention à tous les détails, on avait en fait étudié une fonction affine définie par morceaux auparavant et qui (il fallait le voir) remplissait la condition d'égalité... On trouvait en effet [tex] \mid f'(x) \mid =\sqrt{2M0M2} [/tex] pour cette fonction, ce qui nous donne donc bien s=[tex]\sqrt{2}[/tex]...
Sinon, question à part qui me vient à l'esprit à partir de cet exercice, si l'on considère f une fonction C2 sur R, telle que f et f' soient bornées, est ce que cela implique que f'' est bornée ? (Je sais que f bornée n'implique pas f' bornée, mais avec les 2 hypothèses f et f' bornées à t-on f'' bornée ?)

Merci !

Fred · 25-09-2017 09:40:27

Bonjour,

C'est loin d'être facile! C'est un petit plus facile si tu ne demandes pas que $f''$ soit continue, mais si tu demandes simplement que $f''$ existe en tout point à gauche et à droite.... Dans ce cas, tu peux définir
$$f(t)=\left\{
\begin{array}{rcl}
t(2-t)&\textrm{ si }0\leq t\leq 2\\
(t-2)(t-4)&\textrm{ si }2<t<4
\end{array}\right.$$
et qu'on rend ensuite $4$-périodique. Cette définition a l'air un peu magique, elle l'est beaucoup moins si on constate que la dérivée seconde vaut alternativement $\pm 2$. C'est de cela qu'on part dans la construction, puis on intègre cette fonction avec les bonnes constantes sur chaque intervalle pour préserver la périodicité et la rendre au moins $C^1$ (et deux fois dérivable partout à droite et à gauche). Pour cette fonction, on a exactement $M_1(f)=\sqrt{2M_0(f)M_2(f)}$.

Si tu veux une fonction de classe $C^2$ (pour laquelle tu auras une égalité à $\varepsilon$ près), il va falloir lisser cette fonction. Tu peux toujours partir de la dérivée seconde, mais tu la définis comme une fonction affine sur un intervalle du type $[2-\varepsilon,2+\varepsilon]$ de façon à ce qu'elle devienne continue. Puis tu intègres deux fois (le courage me manque pour faire les calculs).
On peut aussi sans doute lisser en utilisant un produit de convolution (si tu connais l'outil), sans calculs ou presque cette fois.

Dans quel contexte cet exercice est-il posé?

F.

B98 · 24-09-2017 22:17:34

Bonjour, je poste ce message car je bloque un peu sur un problème...
En effet dans un exercice il est question d'étudier les majorations de [tex]\mid f'(x) \mid[/tex] sachant que f est de classe C2, et que les bornes sup de f et de f'' sont respectivement M0 et M2.
On commence par montrer que [tex] \mid f'(x) \mid \leqslant \sqrt{2M0M2} [/tex] à l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange.
Dans la question d'après, on considère toute fonction de classe C2 sur R non constantes, bornées, et dont la dérivée seconde est bornée (ensemble E).
On note M_k(f) la borne sup de f^(k) avec k allant de 0 à 2. C'est ici que je bloque, en effet il est demandé de trouver la valeur de :

[tex]s=sup_{f \in E}\frac{M1(f)}{\sqrt{M0(f)M2(f)}}[/tex]

J'ai passé énormément de temps sur cette question sans réussir... La réponse instinctive serait [tex]\sqrt{2}[/tex], mais pour cela il faudrait prouver que [tex]\sqrt{2M0M2}[/tex] est la majoration la plus précise de f', c'est-à-dire prouver l'existence d'une fonction f appartenant à E telle que f' atteigne cette valeur, mais je ne vois pas du tout comment faire...

Merci d'avance !

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