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merci beaucoup pour votre aide!!

Alors, Soit $f \in Hom(Z/4Z \times Z/2Z;(Z/2Z)^3) \ et \ x \in (Z/2Z)^3,(\bar{1};\bar{1})$ est d'ordre 4 dans $Z/4Z \times Z/2Z$,et $o(x) \in \left\{1;2 \right\},$ d'où $o(x)<4,$ et alors f n'est pas injectif, d'où il n'y a aucun isomorphisme entre ces deux groupes.

La preuve se fait-elle de cette manière?

Excusez moi je veux dire $(Z/2Z)^3$ et pas Z/2Z

My bad, j'avais mal lu !

Bonsoir,
Moi, je n'ai pas compris le début du 1). D'où vient ce "alors $X=...$" pour un $X \in H$ (j'ai corrigé, tu as écris : soit $X\in G$).
D'autre part, tu écris que les matrices de $SL_2(\mathbb{R})$ sont triangulaires, pour moi, ce sont des matrices de déterminant $1$ non ?

Pour le 2), pareil que Roro. Les isomorphismes conservent l'ordre des éléments. Il faut montrer que ce n'est pas possible.

salut, j'ai besoin de votre aide pour resoudre ces deux questions :
1) Soit G le sous groupe de $SL_2(R)$ (groupe speciale lineaire forme des matrices triangulaires superieurs.
Trouver tous les sous-groupes de G d'ordre fini.
2) Prouver que $(Z/2Z)^3 \ et \ Z/4Z \times Z/2Z$ sont non isomorphes.

Pour la premiere question j'ai raisonner de la facon suivante :
Soit H un sous-groupe de G d'ordre fini n et soit $X \in G.$ alors X s'ecrit sous la forme :
$X=\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}.$
On connait que $X^n=I_2.$  d'ou il faut chercher $X^n$.
on peut prouver par reccurrence que pour tout $n \in N^*-{\left\{1 \right\}},$
$X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}$
Pour n=2;
$X^2=\begin{pmatrix}q^2 &kq+\frac{k}{q} \\ 0 & \frac{1}{q^2} \end{pmatrix},$ ce qui est vrai.
On suppose que $X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix},$
prouvons que $X^{n+1}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
$X^{n+1}=X^nX=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &kq^n+k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
on distingue deux cas si n est impair, alors $X^n=I_2$ donne q=1 et k=0. Donc $X=I_2$.
si n est pair alors $X \in \left\{I_2,-I_2 \right\}$
D'ou les sous groupes d'ordre fini de G sont $\left\{I_2,-I_2 \right\}$ et $\left\{-I_2 \right\}$.

ce raisonnement est-il correcte ? et pour la question 2 comment prouver que ces deux groupes sont non isomorphes?

merci d'avance.