Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » serie numerique
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- daniel123
- 06-05-2017 17:34:03
merci pour votre aide!!
- Fred
- 05-05-2017 22:24:28
Bonjour,
Il y a deux liens dans le texte. Cela utilise visiblement des propriétés assez fines d'arithmétique....
F.
- daniel123
- 05-05-2017 20:53:00
Salut, je pense que quelqu'un a aimé ma ma question et il l'a posé sur un autre forum (vous pouvez lire les commentaires), il a utilisé la transformation d'Abel pour etablir la convergnce, pouvez vous me m'expliquer pourquoi $s_N$ tend vers 0.
https://math.stackexchange.com/question … n-converge
- Daniel123
- 28-04-2017 19:54:41
Salut, oui vous avez raison, si on arrive à prouver que $|\sum_{k=1}^{n}{sin(cos(k))}|$ est bornée, numeriquement c'est vrai, mais la preuve est difficile!!
- Yassine
- 28-04-2017 09:39:18
Bonjour,
au contraire, ça change tout !
Si tu considères $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ avec $u_k \ge 0$, alors $S_n$ est croissante (on ajoute à chaque fois un terme positif).
Si $S_n$ est de plus bornée, alors elle converge.
Et si $S_n$ converge, alors $u_n$ converge vers $0$.
- Daniel123
- 27-04-2017 22:24:22
Salut, si une suite converge alors la suite est bornée.
la reciproque est en general fausse.
Ex :
$\sum_{k=1}^{n}{(-1)^k}$ qui est une suite bornée divergente.
Le terme general ne change rien s'il etait positif ou negaTif
- Fred
- 27-04-2017 21:29:22
Bonjour,
Le problème, c'est qu'elle n'est pas bornée. Si c'était le cas, comme c'est une somme de termes tous positifs, on aurait une série convergente, dont le terme général tendrait vers zéro. Mais $(cos(k))$ ne tend pas vers 0.
F.
- Daniel123
- 27-04-2017 21:14:06
Salut, de nouveau, j'ai pensé au probleme, et j'ai trouvé une maniere pour se debarasser du sin :
On connait que pour tout reel x, [tex]|sin(x)|<|x|,[/tex] alors [tex]|\sum_{k=1}^{n}{sin(cos(k))}|<\sum_{k=1}^{n}{|cos(k)|},[/tex] on est arrivé alors à [tex]\sum_{k=1}^{n}{|cos(k)|},[/tex]
Et on est debarassé du sin, la derniere somme est bornée, pouvez vous svp m'aider à prouver qu'elle est bornée?
- hichem
- 15-04-2017 10:43:04
bonjour
Merci yassine, je comprend mieu pour quoi sa ne marche pas !
- Yassine
- 15-04-2017 10:35:39
Bonjour,
Pour le critère d'Abel, c'est $A_n = \sum_{i=1}^n a_i$ qui doit être bornée et non $a_n$.
Sinon, on aurait pu appliquer ta méthode directement à $\dfrac{\sin(\cos(n))}{n}$, voire l'appliquer à $u_n=\dfrac{1}{n}$ !
- hichem
- 15-04-2017 00:08:21
Bonsoir,
désole je n'ai pas fais attention, merci roro
donc si on réecri tt sa , sa devrai donné :
[tex]U_n = \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})cos(\frac{1}{2})}{n} + \frac{sin(\frac{1}{2})cos(\frac{e^{in}}{2})}{n} [/tex]
donc on doi etudier les 2 séries en utilisant la transformation d'abel ?
[tex]a_n = sin(\frac{e^{in}}{2}) [/tex] qui est borné
[tex]|b_k - b_{k+1}|[/tex] = [tex]\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}[/tex]est convergente car c'est une somme telescopique.
et
[tex]b_n[/tex] tend vers 0.
on peut faire la meme chose avec [tex]\frac{cos(\frac{e^{in}}{2})}{n} [/tex]
corrigé moi si j'ai une fais erreur svp
- Roro
- 14-04-2017 21:50:21
Bonsoir,
Je suis d'accord avec Fred, la question n'est pas triviale...
En particulier, les méthodes classiques ne semblent pas aboutir directement (pour hichem, le point qui pose problème dans ce que tu écris est celui-ci :
[tex]\lim_{n\to \infty} e^{-in} = 0[/tex]
qui est clairement faux ([tex]e^{-in}[/tex] est de module [tex]1[/tex]...)
Roro.
- hichem
- 14-04-2017 17:59:57
Bonjour
on à :
[tex]cos(n) = \frac{e^{in}+e^{-in}}{2}[/tex].
en utilisant [tex]sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)[/tex]
on trouve :
[tex]U_n = \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})cos(\frac{e^{-in}}{2})}{n} + \frac{sin(\frac{e^{-in}}{2})cos(\frac{e^{in}}{2})}{n} [/tex]
en utilisant un developpement limité an voisinage de 0 : [tex]\lim_{n\to \infty} e^{-in} = 0[/tex]
on trouve :
[tex]\frac{cos(\frac{e^{in}}{2})}{2ne^{in}} - \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})}{4ne^{2in}} + \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})}{n}[/tex]
on peut facilement démontrer la convergence des 2 premiers terms, et pour le 3eme on peut faire la transformé d'abel pour prouver sa convergence.
je ne suis pas sur des calcule je vous conseil de les revoir.
- Fred
- 14-04-2017 15:15:55
Bonjour,
Cela ne semble pas facile du tout. Peux-tu nous dire quel est le contexte de cette question?
F.
- Daniel123
- 14-04-2017 14:57:15
Salut, j'ai essayé d'appliquer le theoreme d'abel. Mais le probleme est le cos qui est dans le sin