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Yassine · 09-04-2017 19:40:18

Bonsoir,
Dans la continuité simple, le $\eta$ dépend à la fois de $\epsilon$ et de $x$ : $\forall x,\forall\epsilon > 0 \exists \eta > 0\forall y, |y-x| < \eta \implies |f(y)-f(x)|<\epsilon$. ici j'ai écrit que la fonction était continue (simple) en tout point $x$.
Dans la continuité uniforme, $\eta$ dépend uniquement de $\epsilon$ : $\forall\epsilon > 0 \exists \eta > 0 \forall x\forall y, |y-x| < \eta \implies |f(y)-f(x)|<\epsilon$

sbl_bak · 09-04-2017 15:52:00

Bonjour Yassine,
Merci pour les explications. Mais j'ai une question qui reste en suspend de mon côté : quel est la différente entre la définition de la continuité & uniforme continuité?
La différence est ce $\forall x,y$ pour la uniforme continuité et pour un $x_0$ pour la continuité ?

Merci d'avance

Yassine · 07-04-2017 13:02:26

sbl_bak · 07-04-2017 10:39:22

Bonjour
Je vais actualisés la preuve avec vos remarques.
J'ai un autre exo du type ci dessous
On définit Cu(X,E) comme étant l’ensemble des fonctions f de B(X,E) qui sont uniformément continues. Démontrer que (Cu(X,E),||.||B(X,E))
est un espace de Banach.
Pour le démontrer je vais donc utiliser la même démarche par contre comment on introduit l'uniforme continuité ?
Merci d'avance

sbl_bak · 06-04-2017 18:11:53

Je vous propose de refaire au propre la preuve.
(le 3/ était erroné suite aux coquilles des inégalités). J'ai effectivement vu le lien de Fred.

Yassine · 06-04-2017 17:24:11

Le point 3/ était erroné. Si tu le corriges, tu auras en effet montré que $f$ est bornée.

La continuité était démontrée dans le lien donné par Fred :
On se donne $\epsilon > 0$ quelconque.
On choisit $n$ fixé de manière à avoir $sup_{x\in X}||f_n(x)−f(x)||_E < \epsilon$
$f_n$ est continue en $x_0$, il existe donc $\eta$ tel que $\|x - x_0\| < \eta \implies \|f_n(x)-f_n(x_0)\| < \epsilon$
Ensuite, on écrit $f(x)-f(x_0) = (f(x)-f_n(x)) + (f_n(x)-f_n(x_0)) + (f_n(x_0)-f(x_0))$
Donc $\|f(x)-f(x_0)\| \le \|f(x)-f_n(x)\| + \|f_n(x)-f_n(x_0)\| + \|f_n(x_0)-f(x_0)\|$
Au total on aura $\|x - x_0\| < \eta \implies \|f(x)-f(x_0)\| < 3\epsilon$

sbl_bak · 06-04-2017 17:00:58

Yassine a écrit :

La séparation entre le point 2/ et 3/ n'a pas vraiment lieu d'être.
A un moment, dans le 2/, il faut juste remarquer qu'on obtient une majoration de $\|f\|$ et que donc $f \in B$.

Le point 3/ montre que $||f||$ est bornée. Est ce correct?

.

Yassine a écrit :

Ensuite, tu montre que $f$ est continue, donc $f \in C_b$.

Je ne vois pas comment montrer $f$ est continue. Effectivement si $f$ est continu donc appartient à $C_b$.

Yassine · 05-04-2017 20:12:58

La séparation entre le point 2/ et 3/ n'a pas vraiment lieu d'être.
A un moment, dans le 2/, il faut juste remarquer qu'on obtient une majoration de $\|f\|$ et que donc $f \in B$. Ensuite, tu montre que $f$ est continue, donc $f \in C_b$.

Mon post #14 répondait à ta question sur la fermeture de $C_b$.

sbl_bak · 05-04-2017 19:05:55

D'accord parfait! Je fini le point 3/
Dans votre poste 14 vous avez écrit que la limite de toute suite convergente de Cb est dans Cb. Je ne comprends pas bien pourquoi vous avez écrit cela car je l'ai montre au point 2/ ? D'ailleurs est ce que la conclusion du point 2/ est correct?

Yassine · 05-04-2017 18:48:27

Tu y étais presque au post #11
Tu sais que $\|a - b\| \ge \|a\| - \|b\|$ et aussi $\|a - b\| \ge \|b\| - \|a\|$ Si tu veux majorer $a$, il faut prendre la première inégalité et pour majorer $b$ la seconde.

sbl_bak · 05-04-2017 17:44:57

pourrais tu stp m'aider à éclaircir des derniers points pour finir la démonstration car je ne vois pas quel est la bonne route pour finir?

merci d'avance.

Yassine · 05-04-2017 16:29:48

Il ne me semble pas que la démonstration donnée au 3/ soit correcte.

je suis d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$ $||f_N(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$

je suis d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$ $||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E$

Je ne suis pas d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$ $||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E \leq \epsilon$
Tu vois bien que l'ordre de grandeur n'est pas bon. Tu peux imaginer que les $f_n$ sont constantes est valent $5$ par exemple, donc $||f_N(x)||_E + ||−f(x)|| = 10$, ce qui n'a rien à voir avec $\epsilon$.

Ensuite, tu enchaines avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$ $||f(x)||_E \leq \epsilon + ||-f_N(x)||_E$
Même en supposant l'inégalité précédente vraie, je ne vois pas comment ça entraine celle-ci !
(soit dit en passant, le signe '$-$' à l'intérieur de la norme ne sert pas à grand chose)

sbl_bak · 05-04-2017 16:08:15

Ben si je crois que j'ai montré que $f$ est borné au point 3/ de mon post#9 (malgré les erreurs sur l'inégalité /_\)

S'il manque la démonstration, je ne vois pas ce qu'il manque!

Yassine · 05-04-2017 15:58:39

Je n'ai pas compris.
Tu n'as pas encore démontré que $f$ est bornée, ou du moins je ne vois pas la démonstration.

Pour le côté fermé de $C_b$, c'est en effet le cas (si tu termines ta démonstration bien sûr) puisque tu auras montré que la limite de toute suite convergente de $C_b$ est dans $C_b$.

Pour l'autre exo, ça ressemble en effet.

sbl_bak · 05-04-2017 15:17:47

effectivement finalement on a : $ ||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||+||- f(x)||_E $

Sinon pour le reste de mes remarques :
(**) est ce vrai ?

De plus, il ne me semble pas avoir utilisé "le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues."

(J'ai un autre exo du même acabit, dois-je comprendre que c'est la même chose?
On définit $C_u(X,E)$ comme étant l’ensemble des fonctions $f$ de $B(X,E)$ qui sont uniformément continues. Démontrer que $(Cu(X,E),||.||B(X,E))$ est un espace de Banach.)

Merci d'avance

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