Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Peut être en écrivant $\left(e^{\cos(x)}\right)' = -\sin(x)e^{\cos(x)}$, en utilisant le produit de Cauchy, tu pourra trouver une équation satisfaites par les coefficients du DSE ?

Bonjour, admettons que l'on fasse le dl à l'ordre 4.
$$cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$
$$exp(cos(x))=exp(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))=exp(1) exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))$$

Maintenant quand  $u$ tend vers 0, $$exp(u)=1+u+1/2 u^2+o(u^2)$$
Donc $$exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))=1+(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))+1/2(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))^2+o(x^4).$$

Il suffit de développer cette dernière expression en ne gardant que les terme de degré $<=4$, les autres donnant un $ox^4$

pour trouver finalement $$exp(cos(x))=exp(1)(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{6})+o(x^4).$$