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Yassine · 16-12-2016 22:26:14

Il existe un résultat (conséquence du théorème de Baire) qui dit que si un espace vectoriel normé de Banach admet une base (algébrique) dénombrable, alors il est de dimension finie.

Un autre résultat dit que tout espace ayant une base de Schauder est séparable.

sbl_bak · 11-12-2016 19:37:08

je voulais dire base à place de système.

En fait, j'essaie de comprendre le sens de la base de Schauder c'est en dimension infinie.

Ce que je voulais dire ou exprimer par "on se ramène à un système dénombrable donc à un système fini" :

Pour tout $f\in H$ et $S\subset H$, il existe un ensemble dénombrable ${(e_1;e_2;...)} \subset S$, on a

$f= \sum_{i=1}^{N}f_{i}e_i$ si $|S|<\infty$, sinon $f= \sum_{i=1}^{\infty}f_{i}e_i$

Cela peut s'écrire par la limite de $f= \sum_{i=1}^{\infty}f_{i}e_i = lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{N}f_{i}e_i $
(Note : le passage à la limite est possible car on a converge sur $H$ du $<.,.>$)

Je pense qu'il y a une notion de densité : c'est à dire l'ensemble des combinaison linéaire de S est dense dans H

Effectivement je me suis trompé sur la notion de séparabilité car H est séparable s'il existe une base S (Schauder) est dénombrable et orthonormé.
Mais nous pouvons écrire : un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense au plus dénombrable.

D'ailleurs, peut on affirmer que : Tout espace à base dénombrable est séparable. ?

Yassine · 11-12-2016 18:12:16

Je ne suis pas sûr de tout comprendre :
- Pourquoi une famille dénombrable et orthonormée serait une "famille" séparable (on parle en général d'espaces séparables) ? Tu dois confondre avec le fait qu'un espace de Hilbert qui admet une base de Schauder est séparable.
- $\rm{Vect}(e_i) \neq H$. Par contre, $\overline{\rm{Vect}(e_i)}=H$. C'est ce qui explique pourquoi $H$ est séparable.
- Je ne comprends pas la phrase "on se ramène à un système dénombrable donc à un système fini". Quel est le "système" dont tu parles ?

sbl_bak · 11-12-2016 16:42:46

Bonjour, merci encore pour l'éclaircissement!

Concernant la base de Schauder $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ qui est une famille dénombrable et orthonormée donc c'est une famille séparable donc dense.
d’où la fermeture topologique $Vect(e_i) = H$.

Ce qui signifié on a une base de vecteur infinie et l'on se "raméne" à un système dénombrable donc à un système finie.

Est ce que je suis sur la bonne direction?

Yassine · 10-12-2016 12:35:52

Bonjour,
Donc tu sais qie si $F$ est un sous-espace vectoriel de $H$, alors $H=F \oplus F^\perp$ (somme directe).
Cette relation veut dire que tout élément de $x \in H$ peut s'écrire de manière unique comme somme de deux éléments des deux ss-espaces : $x = x_F + x_F^\perp$ avec $x_F \in F$ et $x_F^\perp \in F^\perp$.
Ce que j'ai noté $x_{\|}$, c'est le $x_F$ ci-dessus (les deux barres veulent dire composante "parallèle", l'autre étant la composante orthogonale).

Pour les bases en dimension infinie, il y a deux types de bases. Les plus simples sont les base de Hamel : C'est une famille de vecteurs $(e_i)_{i \in I}$ telle que tout élément de l'espace $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire finie d'éléments de $(e_i)_{i \in I}$ (famille génératrice). On demande également qui si une combinaison linéaire finie d'éléments de la famille est nulle, alors les coefficients doivent être nuls (famille libre). Cette notion de base n'a pas besoin de notion de convergence pour la définir.
Par contre, elle peuvent être énormes ! Si on prend pas exemple l'espace vectoriel des fonctions continues, si on veut pouvoir écrire chaque fonction comme une combinaison linéaire finie de fonctions de la base, il faudra avoir à disposition quasiment l'espace en entier !

Le produit scalaire des espace de Hilbert donne naissance à une norme, et donc une topologie et une notion de convergence. On dit qu'une suite d'éléments de $(x_n) \in H^{\mathbb{N}}$ converge vers vers un élément $l \in H$ si $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \| x_n - l \| = 0$.
Cette notion de convergence permet donc d'écrire des sommes infinies $\sum_{n \ge 0} x_n$, la signification étant la même que pour les séries dans $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$ : c'est l'éventuel nombre $x$ tel que $\displaystyle \lim_{N \to \infty} \|\sum_{k = 0}^N x_k - x \| = 0$.

La base de Schauder permet donc de réduire la taille des bases de Hamel. On ne se restreint plus aux combinaisons linéaires finies mais on autorise des combinaisons infinies.
Une base de Schauder est une famille dénombrable $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ telle que tout élément de l'espace s'écrit de manière unique comme $\displaystyle x = \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda_n e_n$ (c'est l'unicité qui garanti que la famille est libre).

sbl_bak · 09-12-2016 17:55:05

D'ailleurs j ai un autre problème de compréhension sur les espaces de Hilbert en dimensions infini qui fait appel à la base de Schauder.
On fait donc appel à la convergence et c'est où je coince.

sbl_bak · 09-12-2016 17:41:34

Bonjour Yassine
Je ne comprends pas à quoi correspond $x = x_{||} +x^|$
Car un espace de Hilbert H s'écrit de la facon suivante
Soit $F$ un sous espace vectoriel de H alors H est la somme directe de F et F orthogonal.
Je pense que je mélange tout et je ne comprends pas $x_{||}$.
Merci

Yassine · 09-12-2016 14:27:05

Bonjour,

On sait que pour tout $x \in H$, il s'écrit comme $x = x_{\|} + x^\perp$ avec $x_{\|} \in \rm{Vect}(e_i)$ et $x^\perp \in \rm{Vect}(e_i)^\perp$. Le projecteur orthogonal est donc l'opérateur qui à $x$ associe $P_I(x)=x_{\|}$.
La proposition donne une expression de $x_{\|}$. On sait que $x_{\|} = \sum_{i \in I} \lambda_i e_i$. On a donc $\lambda_i = (x|e_i)$.

Le théorème dit autre chose. Il dit que, vu que $(u_n)_{n\ge1}$ est une base orthonormée, alors, pour tout $x \in H$, il existe $(\lambda_i)_{n\ge1}$ tels que $x = \sum_{n \ge 1} \lambda_n u_n$. Le théorème donne l'expression de $\lambda_n$ : $\lambda_n = (x|u_n)$

Bien sûr, si les $(e_i)$ sont une partie finie de $(u_i)$, alors, les coefficients sont les mêmes.

sbl_bak · 09-12-2016 13:07:34

Bonjour,

J'ai quelque problème de compréhension sur la signification de la proposition & théorème ci-dessous :

Proposition :
Soit $(H,||.||)$ un espace de Hilbert et $(e_i)_{i\in I}$ une famille orthonormale finie. Soit $F_I$ le sous espaces engendré par la famille $(e_i)_{i\in I}$ et $P_I$ le projecteur orthogonal sur $F_I$. Alors, pour tout $x\in H$ on a :
1) $P_{I}(x) = \sum_{i\in I}(x|e_i)e_i$

Théorème :
Soit H un espace préhilbertien et $(u_n)_{n\geq 1}$ une base orthonormée de H. Alors, tout élément $x\in H$ s'écrit $x = \sum_{i\in N}(x|u_i)u_n$

Donc ce que je ne comprends c'est les deux écriture qui me semble identique mais l'on d'un projecteur dans la proposition (donc opérateur) et pour le théorème on a la même écriture mais on parle d’élément de $H$.

Merci d'avance de votre aide

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