Forum de mathématiques - Bibm@th.net

---EDIT---
Je recommence, j'ai dit des bêtises.
Bon,
Les fermés de $A$ sont les compléments dans $A$ des ouverts de $A$.
Un ouvert de $A$ est de la forme $A\cap\mathcal{O}$ où $\mathcal{O}$ est un ouvert de l'espace d'origine.
Donc, les fermés de $A$ sont de la forme $A\setminus A\cap\mathcal{O}$
On sait que pour deux parties $E$ et $F$, $E\setminus F = E \cap F^c$ où $F^c$ est le complémentaire de $F$. Donc les fermés de $A$ sont de la forme $A \cap \mathcal{O}^c$ où $\mathcal{O}$ est un ouvert.
Les fermés de $A$ sont donc de la forme $A \cap \mathcal{F}$ où $\mathcal{F}$ est un fermé de l'espace d'origine.

Je note $\mathcal{F} := A \cup B$ qui est un fermé.
Supposons $A \cap B$ vide, alors $\mathcal{F}_A := A \cap \mathcal{F}$ et $\mathcal{F}_B := B \cap \mathcal{F}$ sont deux fermés de $A\cup B$ disjoints et de plus $A \cup B = \mathcal{F}_A \cup \mathcal{F}_B$, ce qui contredit le fait que $A\cup B$ est connexe.
Donc $A \cap B \neq \emptyset$

Supposons maintenant que $A$ n'est pas connexe.
Il existe donc deux fermés $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ tels que (je note $A_i :=A \cap \mathcal{F}_i):
(1) $A_1 \cap A_2 = \emptyset$
(2) $A = A_1 \cup A_2$.

Je note $B_1 := A_1 \cap B = \mathcal{F}_1 \cap (A\cap B)$ et $B_2 := A_2 \cap B = \mathcal{F}_2 \cap (A\cap B)$
$B_1$ et $B_2$ sont des fermés de $A\cap B$.

Alors $B_1 \cap B_2 = A_1 \cap A_2 \cap B = \emptyset$
et $B_1 \cup B_2 = (A_1 \cap B) \cup (A_1 \cap B) = (A_1 \cup A_2) \cap B = A \cap B$.
Ce qui contredit la fait que $A \cap B$ est connexe.

Pourrais-tu être plus explicite ?
Quand tu dis "les fermés de A", tu parles de la topologie induite sur $A$ ?
Est-ce que ta phrase est une justification, une question ou une remarque ?

Entre ce que je t'ai donné et la solution, il n'y plus beaucoup de marge !

Est-ce que tu sais d'abord justifier la première proposition ?

Pour la deuxième : tu dois montrer que $B_1 = A_1 \cap B$ et $B_2 = A_2 \cap B$ est une partition de $A \cap B$, tu dois donc montrer trois choses :
1- $B_1 \cup B_2 = A \cap B$
2- $B_1 \cap B_2 = \emptyset$
3- $B_1 \neq \emptyset$ et $B_2 \neq \emptyset$

Normalement, tu devrais pouvoir faire ça (ce sont des manipulations très simples d'unions et d'intersections d'ensembles).

$B_1$ et $B_2$ étant des fermés (pourquoi ?), ça contredit alors le fait que $A \cap B$ est connexe.

Bonjour,
Je te donne une idée :
$A \cup B$ connexe va garantir que $A \cap B$ est non vide
Ensuite, considère une partition de $A$ par deux fermés disjoints $A_1$ et $A_2$, tu peux alors montrer que $A_1 \cap B$ et $A_2 \cap B$ est une partition de $A \cap B$ par deux fermés disjoints.