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On ne peut pas calculer cette quantité car $\displaystyle \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x}$ n'est pas une fonction test.
Ce que l'exercice nécessite de calculer, c'est $\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle$.
Je note $K=\rm{supp}(\varphi - \varphi(0)\psi) \cap \mathbb{R}^+$
A noter que le support de $\psi$ est fixe. On peut également le choisir, mettons $[-2,2]$ (je rappelle que j'ai choisi que $\psi([-1,1])=\{1\}$. Dans ce cas, l'expression de $K$ devient simplement $K=\rm{supp} \cap [0,2]$.
Alors :
$\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \int_K \dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)\psi(x)}{x}dx$

--EDIT--
J'ai fait une erreur avec l'écriture $C_\psi$. En réalité, elle dépend de $\varphi$ au travers du support $K$. Mais ce n'est pas un point important.
Ce qu'il faut retenir, c'est qu'avec la seule donnée $g=H$, on ne peut pas calculer $\langle T,\varphi \rangle$. C'est un peu comme pour les fonctions, si je donne $f' = 1$, on ne pourra pas calculer $f(0)$, il faut une condition supplémentaire sur $f$.
Si $T$ satisfait $xT=H$, alors $L=T+5\delta$ également et on a  $\langle L,\varphi \rangle =  \langle T,\varphi \rangle + 5\varphi(0)$ et il n'y a pas de raison de dire que c'est $L$ ou $T$ la "bonne" solution. Il faudra une condition supplémentaire sur $T$, et c'est ça qui enlèvera le semblant d'"aléatoire" qui semble entourer le choix de $\psi$.

Une notation plus compacte serait
$\displaystyle \langle vp^+ \dfrac{1}{x}, \varphi \rangle = \displaystyle\int_{\rm{supp}(\varphi)}\dfrac{\varphi(x)- \varphi(0)}{x} dx$

On sait que $x\rm{vp}\dfrac{1}{x} = 1$, je voulais donc m'inspirer de ça, vue que Heaviside est en quelque sort $1^+$, pour avoir $x\rm{vp}^+\dfrac{1}{x} = 1^+$.
Mais bon tu peux oublier cette notation qui est personnelle.

L'essentiel est que tu vois comment le choix de $\psi$ intervient dans le résultat :
$\displaystyle \langle G_\psi, \varphi\rangle = \int_{\rm{supp}(\varphi)}\dfrac{\varphi(x)- \varphi(0)}{x} dx - C_\psi\langle \delta, \varphi\rangle$
avec $\displaystyle C_\psi = \int_{\rm{supp}(\psi)} \dfrac{\psi(x) - \psi(0)}{x}dx$.

Oui, tu as raison, j'ai été un peu vite.
Il faut d'abord écrire $\displaystyle \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle = \int_0^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx$, avec $\rm{supp}(\varphi) \subset [-R,R]$ puis d'écrire ensuite
$\displaystyle \int_0^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx = \int_0^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx + \int_{-R}^0\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx$

La notion de "valeur principale positive" n'existe pas de manière "académique", c'est une notation de mon cru, par analogie avec la définition de la valeur principale
(j'écris $\displaystyle \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle = \int_0^{+\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx = \int_0^{+\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx + \int_{-\infty}^0\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx$

Pour une référence, tu peux chercher le poly de F. Golse, "Distributions, analyse de Fourier, equations aux derivees partielles" (ici). Cherche "valeur principale".

Bonjour,
D'abord, il y a une coquille, je voulais écrire $\langle {\rm vp}^+\frac{1}{x}, \varphi \rangle$ pour signifier la "partie positive" de la valeur principale.
Pour ta question sur la limite, quand une fonction définie sur $]a,b]$ peut être prolongée par continuité en $a$, on écrie $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$ au lieu de $\displaystyle \lim_{t \to a+} \int_t^b f(x)dx$

Une définition équivalente de la valeur principale est $\displaystyle \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle = \int_0^{+\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx$

$\psi$ est un choix qu'on s'est fixé au départ et qui ne bouge plus. C'est un peu comme dans un espace vectoriel, on choisit une base et après on peut exprimer des vecteurs par rapport à cette base.
Donc $G_\psi$ dépend de $\psi$, mais pas du tout de $\varphi$

Par ailleurs, l'écriture $\displaystyle \dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}$ est incorrecte. La seule écriture qui fait du sens est $\displaystyle \dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}$.
Pour une fonction $f \in C^\infty(\mathbb{R})$,  la fonction $\dfrac{f(x)}{x}$ n'est $C^\infty(\mathbb{R})$ qu'à la seule condition que $f(0)=0$. Dans ce cas, on peut définir un prolongement $C^\infty(\mathbb{R})$, appelons le $\displaystyle \bar{f}_{\frac{1}{x}}$ définie par
$\displaystyle \forall x \neq 0, \bar{f}_{\frac{1}{x}}(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ et par $\displaystyle \bar{f}_{\frac{1}{x}}(0) = f'(0)$. Pour ne pas alourdir la notation, on convient d'écrire $\dfrac{f(x)}{x}$, sachant que ça n'a de sens que parce que $f(0)=0$.

Dans le cas où $g=H$, on a alors
$\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \int_0^{+\infty} \dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)\psi(x)}{x}dx$
Soit encore $\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \int_0^{+\infty} \dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x}dx - \varphi(0)\int_0^{+\infty} \dfrac{\psi(x) - \psi(0)}{x}dx$
(j'ai utilisé le fait que $\psi(0) = 1$).
Je note maintenant $C = \int_0^{+\infty} \dfrac{\psi(x) - \psi(0)}{x}dx$ (c'est une constante indépendante de $\varphi$).
On a alors $\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \langle {\rm vp}\frac{1}{x}, \varphi \rangle - C\langle \delta, \varphi\rangle$

1. et l'écriture
[tex]
\dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}
[/tex]
n'est pas permise puisqu'on ne peut pas diviser sur x pour tout x. non?

2. et on ne peut pas calculer
[tex]
<g,  \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}>
[/tex]
puisque justement, on ne connait pas [tex]\psi[/tex]. Dans le cas où par exemple g=H, que vaudrai
[tex]
<g,  \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}>
[/tex]?
s'il vous plaît

Mais le problème est qu'on ne sait pas calculer explicitement
[tex]
<g,\dfrac{\Phi}{x}>
[/tex]