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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Yassine
- 20-11-2016 09:05:10
Bonjour,
Si tu sais que $\displaystyle \lim_{x\to 0} x\log(x) = 0$, tu peux facilement montrer que l'intégrale $\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon < |x| < a} |\log|x||dx$ existe pour tout $a$, et donc que pour tout compact $K$, l'intégrale $\displaystyle \int_{K} |log|x||dx$ existe. Ce qui montre que $\log|x|$ est localement intégrable (c'est la définition de localement intégrable).
Pour qu'elle soit dans $\displaystyle L^1(\mathbb{R})$, il faudrait qu'elle soit intégrable (en valeur absolue) sur $\mathbb{R}$ tout entier, c'est à dire qu'il faudrait que la limite $\displaystyle \lim_{M \to +\infty} \int_{-M}^{+M} |log|x||dx$ existe. Et tu peux vérifier que ce n'est pas le cas.
- tina
- 19-11-2016 23:49:40
Pardon, je suis vraiment perdue. Je ne comprend pas comment on fait pour voir que [tex]\ln|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex] mais elle n'est pas [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex].
Aidez moi à connaître la méthode s'il vous plaît.
- Yassine
- 18-11-2016 21:10:52
Supposons que tu arrives à montrer qu'elle est intégrable sur un compact contenant $0$, mettons $[-1,1]$.
Alors, pour $M>1$, on a
$\displaystyle \int_{-M}^{+M} \log|x| dx = \int_{-1}^{+1} \log|x| dx + 2 \int_{1}^{M} \log(x) dx = \int_{-1}^{+1} \log|x| dx + [x\log(x)-x]_1^M=M (\log(M)-1) + C$
Il te reste à montrer qu'elle est intégrable sur $[-1,1]$.
- tina
- 18-11-2016 19:04:51
Comment justifier le fait qu'elle ne soit pas [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex]? On a:
[tex]
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| dx = \displaystyle\int_{-\infty}^0 \log(-x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \log(x) dx
= [-x \log(-x)+x]_{-\infty}^0 + [x \log(x)-x]_{0}^{+\infty}
[/tex]
moi je vois un problème en [tex]x=0[/tex] puisque [tex]\log(x)[/tex] n'est pas définie en 0. Non? Qu'est ce qu'il faut dire? S'il vous plaît.
- Fred
- 18-11-2016 18:54:33
Ben si, elle est intégrable en 0... C'est en $+\infty$ qu'elle n'est pas intégrable!
F.
- tina
- 18-11-2016 17:13:47
Bonjour,
comment justifier le fait que la fonction [tex]\log|x|[/tex] ne soit pas [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex] mais elle est [tex]L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex]? Comment est ce qu'elle peut être intégrable sur tout compact, or qu'elle ne 'est pas en 0?
Merci pour votre aide.