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Cf mon post précédent : on peut se permettre de choisir le $\alpha$ qui nous arrange.
En l'occurrence, $\alpha=1$.
On sait que $\varphi'$ est non nulle (sinon, $\varphi$ serait également nulle, car à support compact).
Soit donc $x_0$ tel que $\varphi'(x_0) \neq 0$. Posons $\varepsilon = \frac{1}{2}|\varphi'(x_0)|$ et soit $n$ quelconque, je pose $n_0=n+1$ et $x = \frac{x_0}{n_0}$.
Alors $|\eta'_{n_0}(x)| = |\varphi'(n_0x)| = |\varphi'(x_0)| > \varepsilon$.

On a donc montré que $\exists \epsilon > 0, \forall n, \exists n_0 \geq n, \exists x, |\eta'_{n_0}(x)| > \varepsilon$ ce qui est exactement la négation de la convergence uniforme de $\eta_n'$ vers $0$

--EDIT--
Le point important que je n'ai pas mentionné, c'est que je peux aussi choisir $x$ comme je veux. Si $\Omega=]1,+\infty[$, je n'aurais pas pu dérouler mon argument ($x_0$ tel que je l'ai construit n'est pas forcément dans $\Omega$).

Deux points à préciser pour te faciliter la vie :
1) Tu n'es pas obligé de montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx)|=+\infty$ mais juste que la limite, si elle existe, n'est pas $0$.
2) Tu peux choisir le $\alpha$ qui t'arrange puisque la convergence dans $\mathcal{D}$ suppose une convergence uniforme pour tout $\alpha$. Si tu trouves un $\alpha$ qui ne marche pas, c'est gagné.

Paedon, je ne vous suis plus. Quels arguments il faut? Normalement c'est clair que ca tend vers [tex]+\infty[/tex] pusqu'on parle du sup. Et je ne comprend pas votre dérnière remarque sur [tex]D^\alpha \varphi(nx)[/tex] qui pourrait annuler le terme [tex]n^{\alpha-1}[/tex]. Expliquez moi un peu de quoi il s'agit s'il vous plaît.

Ah, donc la solution que j'ai proposé est correcte, puisque our la convergence dans [tex]\mathcal{D}[/tex], on n'a pas besoin de la convergence simple de [tex]D^\alpha \eta_n[/tex]. Non? Donc on peut écrire que
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx)=+\infty.
[/tex]

Mais la suite [tex]\eta_n = \dfrac{1}{n} \varphi(nx)[/tex] converge simplement vers 0 pour tout x fixé, il n y a pas de problème. Je ne comprend pas pourquoi parler du point zéro dans le calcule de [tex]\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx)|[/tex]

Mais la question est de calculer la limite de [tex]\sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^{\alpha} \varphi(nx)|[/tex], donc pourquoi chercher ce qui se passe au point [tex]x=0[/tex], puisque ce qui nous interesse est la limite du sup?

Je récapitule s'il vous plaît, et je souhaiterai que vous me corrigiez s'il vous plaît.

On considère la suite
[tex]
\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx), \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), n \geq 1.
[/tex]

1. Convergence dans [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}).[/tex]Soit
[tex]\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex] On calcule
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \eta_n(x) \psi(x) dx.
[/tex]
On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(nx) \psi(x) dx
=
\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_K \varphi(nx) \psi(x) dx.
[/tex]
En fait, je ne sais pas coment choisir le compact K. Il contient le support de quelle fonction teste?
Puisque les fonctions [tex]\psi[/tex] et [tex]\varphi[/tex] sont continues sur le compact [tex]K[/tex], elles sont bornées et atteignent leurs bornes, ainsi on peut écrire
[tex]0 \leq \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_K |\varphi(nx) \psi(x)| dx \leq \dfrac{1}{n} \sup_{x \in K} |\varphi(x) \psi(x)| \to 0[/tex],
donc
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \langle \eta_n,\psi \rangle = 0 = \langle 0,\psi \rangle.
[/tex]
Ce qui veut dire que
[tex]\eta_n \to 0[/tex] dans [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}).[/tex]
Tout est bon?
2. Convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
Pour étudier la convergence d'une suite dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}),[/tex] on commence par étudier la convergence simple de cette suite. Si elle convergence simplement vers une limite [tex]\eta,[/tex] alors si elle converge dans [tex]\mathcal{D}[/tex] ça sera vers [tex]\eta.[/tex] Sinon, si la suite ne converge pas simplement, alors on conclut directement qu'elle ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}.[/tex]

Donc, on commençe par étudier la convergence simple de [tex]\eta_n.[/tex]
Soit [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}.[/tex] On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)= \lim_{ n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \varphi(nx)=0.
[/tex]
Donc [tex]\eta_n[/tex] converge simplement vers [tex]\eta=0.[/tex]

Regardonc la convergence uniforme de [tex]D^\alpha \eta_n.[/tex] Soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}.[/tex] On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} |D^\alpha \eta_n(x)| = \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha - 1} D^\alpha \varphi(nx)|.
[/tex]
Pour tout [tex]\alpha >1,[/tex] on a:
[tex]n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx) \to +\infty.[/tex]
Donc,
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^\alpha \eta_n(x)|=+\infty.
[/tex]
On en conclut que [tex]\eta_n[/tex] ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}.[/tex]
Pourquoi ce dernier raisonnement n'est pas correct? Où est l'erreur?

Je vous remercie pour votre aide.

Non, c'est [tex]\eta_n= \dfrac{1}{n} \varphi(nx)[/tex].
Quand vous passez à la limite, comment vous justifier le passage à la limite sous le sogne somme? S'il vous plaît.