Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Je pense que je t'ai donné la mauvaise indication pour arriver au résultat souhaité. Mon indication permet une majoration qui est à mon avis suffisante pour arriver à la compacité de l'opérateur, mais qui ne correspond pas à ce qui est demandé.

J'efface et je recommence :
On écrit :
$\int_0^x K(x,t)f(t)dt - \int_0^{x'} K(x',t)f(t)dt = \int_0^x \left[K(x,t)-K(x',t)\right]f(t)dt + \int_0^x K(x',t)f(t)dt -\int_0^{x'} K(x',t)f(t)dt$
Soit encore :
$\int_0^x K(x,t)f(t)dt - \int_0^{x'} K(x',t)f(t)dt = \int_0^x \left[K(x,t)-K(x',t)\right]f(t)dt + \int_{x'}^x K(x',t)f(t)dt$

Et après, ça devrait aller tout seul !

Bonjour Yassine,
Je suis d'accord avec toi il y a un terme qui manque, c'est oubli de ma part.

Par contre, je me rend également compte si l'on ajoute le terme manquant cela va nous faire un terme supplémentaire car $\int_x^{x'} = -\int_{x'}^x$.
Je suis d'accord avec toi il y a pas de facteur 2 dans la relation initiale. Donc je ne vois pas bien comment arriver au résultat : $\displaystyle|(Tf)(x)-(Tf)(x') \leq (||K||_{\infty}|x-x'|+ sup|K(x,t)-K(x',t)).||f||_{\infty}$

Vu que tu me fait des rappels sur les majorations, je suppose ce que j'ai fait n'est pas bon, non?

Bonjour,

Je ne suis pas sur de ce que je fait ie :
$\displaystyle (Tf)(x) = \int_{0}^{x} K(x,t)f(t)dt$
$\displaystyle (Tf)(x) = \int_{0}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

J'exprime maintenant la différence à partir $\int_0^x = \int_0^{x'} + \int_{x'}^x$

$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x'} K(x,t)f(t)dt + \int_{x'}^{x} K(x,t)f(t)dt - \int_{0}^{x} K(x',t)f(t)dt - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

On regroupe donc les termes,
$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x} K(x,t)f(t)dt - \int_{0}^{x} K(x',t)f(t)dt  - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x}( K(x,t) - K(x',t))f(t)dt - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

Passons à la majoration :
$\displaystyle |(Tf)(x) - (Tf)(x')| \leq |\int_{0}^{x}(K(x,t) - K(x',t))f(t)dt| + |-\int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt|$
                                              $\displaystyle \leq |\int_{0}^{x}(K(x,t) - K(x',t))f(t)dt| + |\int_{x'}^{x} K(x',t)f(t)dt|$
                                              $\displaystyle \leq \int_{0}^{x}sup_{t\in [0,1]}|(K(x,t) - K(x',t))|sup_{t\in [0,1]}|f(t)|dt + |\int_{x'}^{x}sup_{t\in [0,1]}|K(x',t)|.sup_{t\in [0,1]}|f(t)|dt$

d’où $\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') \leq |1-0|.||f||_{\infty} sup_{t\in [0,1]}|(K(x,t) - K(x',t)) + |x-x'|.||K||_{\infty}.||f||_{\infty}$

Je ne suis pas trop alaise avec ce que j'ai fait au niveau des sup sous le signe intégrale.

------

La suite de l'exercice est de montrer que T est compact.
Je vois deux approches :
1iere approche :
1 _ soit suite $(f_n)$ inclus dans la boule unité
2 _Il faut donc montrer que $(Tf_n)$ possède une sous-suite
3_ Il faut montrer que $(Tf_n)$ est équicontinue et utiliser le Théorème d'Ascoli.
4 _Je pense qu'il faudra conclure avec Bolzano-Wieistrass.

2ieme approche
1 _ On vérifie que $K$ est équicontinue
2 - On vérifie de $Tf$ est uniformément continue
3 _ On vérifie que $Tf$ est linéaire
4 _ on montre que la boule $B_{C([0,1])}$ est bornée dans $C([0,1])$ , on sait que l'opérateur est compact si l'image par T de la est relativement compacte.

Pouvez vous me dire quelle approche prendre?

Merci d'avance

Bonsoir,
C'est quoi $C([0,1])$ (continues ?)
Dans ton expression, il manque une barre de valeur absolue et une parenthèse.

De manière générale, sur ce genre d'exercice, on découpe l'intégrale en morceaux, en utilisant $\int_0^x = \int_0^{x'} + \int_{x'}^x$
Tu regroupes les termes. Pour l'intégrale $\int_{x'}^x$, tu majores l'intégrande, ce qui fait apparaître le $|x-x'|$, et pour les termes  $\int_0^x$ et $\int_0^{x'}$ tu les majores par $\int_0^1$ puis tu majores l'intégrande.