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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Hiroki1313
- 02-11-2016 12:00:36
Re,
En effet, j'avais oublié que [tex] (G(0))' = 0 [/tex]
D'où
[tex] f'(x) = e^xG'(e^x) [/tex]
[tex] f'(x) = e^xg(e^x) [/tex]
Donc [tex] f'(x) = e^xln(e^{2x} + \frac{1}{2}) [/tex]
- Yassine
- 02-11-2016 11:25:12
Attention, tu as fais quelques erreurs :
- $G(0)$ est une constante. Donc $\left(G(0)\right)' = 0$
- $\displaystyle G(x) \neq xln(x^2 + \frac{1}{2})$. Justement, tout le point est de te montrer qu'on tu n'as pas besoin de connaitre l'expression explicite de $G(x)$.
- La dernière expression que tu donnes de $f'(x)$ est fausse. Relis tes calculs.
- Hiroki1313
- 02-11-2016 10:43:32
Bonjour,
Si l'on pose [tex] f(x) = \int_0^{e^x}\, ln(u^2 + \frac{1}{2}),du [/tex] et [tex] g(x) = ln(u^2 + \frac{1}{2}) [/tex]
Alors on a:
[tex] f(x) = G(e^x) - G(0) [/tex]
[tex] f'(x) = (G(e^x) - G(0))' [/tex]
[tex] f'(x) = e^xG'(e^x) - G'(0) [/tex]
[tex] f'(x) = e^xg(e^x) - g(0) [/tex]
[tex] f'(x) = e^x ln(e^{2x}+ \frac{1}{2}) - ln(\frac{1}{2}) [/tex]
A partir de cette égalité, on peut déduire la primitive de g(x):
[tex] G(x) = xln(x^2 + \frac{1}{2}) [/tex]
d'où [tex] f'(x) = xln(x^2 + \frac{1}{2}) [/tex]
Les signes de cette dérivée correspondent aux variations de f(x).
Merci pour m'avoir éclairé.
- freddy
- 01-11-2016 10:30:31
Re,
On va le faire autrement. On doit dériver la fonction f définie par :
$f(x) = \int_0^{e^{x}}\,\ln(u^2 + \frac{1}{2})\,du$
Supposons que la primitive que tu cherches soit notée G, fonction continue et dérivable. Donc comme tu sais, $f(x) = G(e^x)-G(0)$.
A ce stade, même bigleux, peux-tu calculer la dérivée de f(x) ?
- freddy
- 01-11-2016 10:06:07
Salut,
c'est tout de même fantastique de ne pas comprendre ce qu'on t'explique : tu n'as pas besoin de faire le calcul que tu cherches à faire, ça n'a pas de sens pour répondre à la question qui t'est posée ! ...
- Hiroki1313
- 31-10-2016 20:59:01
Bonsoir Hiroki.
Tu es amené à dériver une fonction composée.
Soit [tex]F(t) = \int_0^t \ln\left( u^2+\frac12\right)\,\rm du[/tex]. Tu sais dériver [tex]F[/tex] n'est-ca pas ? Eh bien tu as [tex]f(x)=F(e^x)[/tex].
Ostap Bender.
Justement, je suis encore bloqué...en intégrant par partie, j'obtiens [tex] [u*ln(u^2 + \frac{1}{2})] [/tex] - [tex] \int_0^t\, \frac{2u^2}{u^2 + \frac{1}{2}}\, dx[/tex]. Je n'arrive pas à voir quelle est la primitive de [tex] \int_0^t\, \frac{2u^2}{u^2 + \frac{1}{2}}\, dx[/tex] . A moins que je sois vraiment aveugle et que la solution est évidente.
J'ai essayé de réintégrer [tex] \int_0^t\, \frac{2u^2}{u^2 + \frac{1}{2}}\, dx[/tex] mais je reviens sur [tex] \int_0^t \ln\left( u^2+\frac12\right)\,\rm du[/tex] ce qui me bloque.
- Yassine
- 31-10-2016 18:46:52
Il s'agit de dériver une intégrale à paramètre.
Tu as la formule générale (généralisation du théorème fondamental de l'analyse) qui donne pour une fonction $\displaystyle F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)dy$
l'expression suivante de la dérivée : $\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x)))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dy$.
Par contre, j'imagine que dans ton énoncé, il s'agit de $\displaystyle \int_0^{e^{x}}\,\ln(u^2 + \frac{1}{2})\,du$ ($du$ et non $dx$) ?
--EDIT--
Grillé par Ostap, avec une approche encore plus simple (vu le contexte)
- Ostap Bender
- 31-10-2016 18:41:39
Bonsoir Hiroki.
Tu es amené à dériver une fonction composée.
Soit [tex]F(t) = \int_0^t \ln\left( u^2+\frac12\right)\,\rm du[/tex]. Tu sais dériver [tex]F[/tex] n'est-ca pas ? Eh bien tu as [tex]f(x)=F(e^x)[/tex].
Ostap Bender.
- Hiroki1313
- 31-10-2016 18:15:36
Bonjour,
Voici mon problème, issu d'un DM de L1 MPI. Comme l'indique le titre, je dois dériver la fonction f, définie par:
f(x) = [tex] \int_0^{e^{x}}\,\ln(u^2 + \frac{1}{2})\,dx[/tex]
Pour commencer, j'ai intégré par partie, car je ne sais pas intégrer ln(x2 +( 1/2)).
En posant g'(x) = 1 donc g(x) = u
et v(x) = [tex]ln( x^2 + \frac{1}{2})[/tex] donc v'(x) =[tex]\frac{2x}{x^2 + \frac{1}{2}}[/tex],
On obtient alors [tex] [u*ln( u^2 + \frac{1}{2})] [/tex] - [tex] \int_0^{e^{x}}\,\frac{2u^2}{u^2+\frac{1}{2}}\,dx[/tex]
Mon problème vient donc de la deuxième intégrale, que je ne sais pas intégrer.Cette partie me bloque car je n'arrive pas à trouver cette primitive. Si je fait par IPP, je retombe sur le négatif de l'intégrale de base, ce que je ne veux pas. J'ai pensé au changement de variable mais je n'ai pas d'intégrale de la form int f(x)f'(x), donc je ne peux pas utiliser cette méthode.
Je sais ensuite que graphiquement, je devrais trouver f'(x) < 0 sur ][tex]-\infty[/tex]; [tex]\sqrt{\frac{-1}{2}} [/tex]] et sur [0; [tex]\sqrt{\frac{1}{2}} [/tex]] et que f'(x) > 0 sur [ [tex]\sqrt{\frac{-1}{2}} [/tex]; 0] et sur [tex]\sqrt{\frac{1}{2}} [/tex]; [tex]+\infty[/tex]]
Merci d'avance pour les pistes.
P.S: Je suis "bigleux", c'est-à-dire que je ne vois pas ce qui est évident. Donc il se pourrait que je sois passé à côté d'une piste me permettant de résoudre cette intégrale.