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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- sbl_bak
- 12-10-2016 12:03:14
Merci. c'est clair!
- Fred
- 10-10-2016 08:36:14
Re-
L'idée je pense est assez simple. Tu veux démontrer qu'un espace de suites de fonctions est complet.
Tu prends une suite de Cauchy de cet espace.
Quand on fixe un point où la fonction est définie (ici, avec tes notations, cela revient à fixer $k$),
la suite est de Cauchy dans le corps de base qui est complet, donc elle converge.
Il faut ensuite revenir à la suite de fonctions pour démontrer qu'elle converge dans l'espace de suites de fonctions.C'est ce que tu fais quand tu passes de (2) à (3). Tu passes de la définition d'une suite de Cauchy à la définition d'une suite convergente.
F.
- sbl_bak
- 09-10-2016 12:41:30
Bonjour, merci pour les réponses
Concernant la question 2_ je voulais écrire
2_ pourquoi faire tendre p vers l'infini dans (2) pour nous donner le résultat de (3)?
Question naïve mais je souhaiterai avoir une explication avec des mots pour me confirmer ma compréhension.
Merci d'avance
- Fred
- 08-10-2016 22:30:23
Salut,
1_ C'est la même chose que pour l'autre post. Ecris la définition de la norme (c'est une borne supérieure, non, donc si la borne supérieure d'un ensemble est inférieure ou égale à A, c'est que tous les éléments de cet ensemble sont inférieurs ou égaux à A).
2_ Je ne comprends pas ta question.
3_ Tu écris (2) avec $\varepsilon=1$. Tu fais tendre $p$ vers l'infini. Tu as donc, en utilisant (3) avec $\varepsilon=1$ et $n=N$ :
Pour tout $k\in\mathbb N$, $|x_N(k)-x(k)|<1$, d'où $|x(k)|\leq |x_N(K)|+1\leq \|x_N\|+1$
ce qui démontre que $x\in \ell^\infty$.
F.
- sbl_bak
- 08-10-2016 17:58:00
Bonjour,
Je souhaite montrer que $l^\infty$ est complet.
Je procédé de la fonction suivante (enfin le bouquin!):
soit $(x_n)_n\in l^\infty$ une suite de Cauchy
$\forall \epsilon>0, \exists N\geq 1$ tel que $ ||x_n-x_{n+p}||<\epsilon$, $\forall n\geq N$, $p\geq 0$ (1)
On peut écrire : $k\in K^n$, $|x_n(k)-x_{n+p}(k)|<\epsilon$, $\forall k\geq 1$ $\forall n\geq N$, $p\geq 0$ , (2)
$\forall k\geq 1$ la suite $x_n(k)$ est de Cauchy dans $K$, donc $x_n(k)\rightarrow x(k)$
lorsque que $p\rightarrow \infty$ (dans (2)), alors $|x_n(k)-x_(k)|<\epsilon$ (3)
Après on doit montrer que $x \in l^\infty$ (4).
J'ai les questions suivantes :
1_ comment passe t-on de (1) vers (2)
2_ pourquoi faite tendre p vers l'infini dans (2) pour nous donner
3_comment fait on pour montrer (4)
Merci d'avance de vos explications.