Forum de mathématiques - Bibm@th.net

merci à vous ;-)

Re,
Comme disait un de mes mon profs, les mathématiques sont une série de tautologies ;-)
J'avais bien compris ton objectif, c'est pour ça que j'ai ajouté que je coupais les cheveux en quatre.

Merci Yassine pour les corrections.

Pour etre sur que j'ai bien compris
$|y_{\phi(n)}- c| =  |(y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}) +(x_{\phi(n)}-c)| \leq |y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}| +|x_{\phi(n)}-c|$

$|y_{\phi(n)}- c| \rightarrow 0 $ lorsque $n \rightarrow \infty$ car
$|(y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)|}) \leq 1/\phi(n) \rightarrow 0 $ lorsque $n \rightarrow \infty$
$ |x_{\phi(n)}-c| \rightarrow 0 $ lorsque $n \rightarrow \infty$

d’où $lim_{n\rightarrow \infty} y_{\phi(n)} = c$

Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses.

Remarque sur le point 3. Si $u_n$ n'est pas majorée est ce que cela implique que dans tous les cas la suite extraite diverge?
Cette question n'a pas de sens à mon avis.
Car si $\phi(n)\geq n$ et construite par rapport à $u_n$ on aura toujours $u_n \leq u_{\phi(n)}$, est ce vrai?

Concernant l'exemple $u_n = e^{(-1)^n n}$ les deux sous suites ont leurs limites différentes donc $u_n$ ne converge, est ce que j'ai compris?

D’où la remarque de Freddy, "...l'unicité de la limite d'une suite convergente".

J'ai un exemple d'utilisation de sous suite dans la démonstration de Heine.
Démonstration du Théorème de Heine

Dans ce cas on a pris une suite $\phi : N\rightarrow N$ tel que $\phi(n) \geq n$.
On a donc $|x_n-y_n| \leq 1/n$.
La suite $x_n$ est sur le compact I donc bornée. Elle admet une sous suite $x_{\phi(n)}$ qui converge vers c ;  $x_{\phi(n)} \rightarrow c$.

Dans la démonstration ils disent : " on en déduit que $y_{\phi(n)}$ qui converge vers c". je vais essayer de déduire!

$\displaystyle \frac{1}{\phi(n)} \geq |x_{\phi(n)}-y_{\phi(n)} \geq |x_{\phi(n)}|-|y_{\phi(n)}|$

d’où $\displaystyle |y_{\phi(n)}| \leq |x_{\phi(n)}| - \frac{1}{\phi(n)}$

Quand $n \rightarrow +\infty$ $y_{\phi(n)} \rightarrow c$

Est-ce que ma déduction pour la convergence de $y_{\phi(n)}$, est bonne.

Pour le reste la démonstration pour la continuité de $f$ pas de problème particulier.

Bonjour,
Prenons par exemple une suite très simple $u_n = 1/n$. Ses premiers termes sont $1,1/2,1/3,\cdots$. Imaginons maintenant que je m'intéresse à la suite $v_n$ des inverses des seuls nombres premiers $1/3,1/5,1/7,1/11,\cdots$. On a donc $v_1=1/3$, $v_2=1/5$,...
Bien sûr, tous les termes de $(v_n)$ sont également des termes de $(u_n)$ : $v_1 = u_3$, $v_2 = u_5$, etc. Donc, si je connais la fonction $\pi(n)$ qui donne le $n$-ième nombre premier, $v_n = u_{\pi(n)}$. C'est ce mécanisme qui est formalisé par la définition qui tu donnes : la fonction $f(n)$ vient "choisir" les termes de la suite principale qu'on veut retenir. L'exigence de la croissance est pour assurer qu'à chaque fois, tu ne peux garder que des termes de rang supérieur à ceux que tu as déjà sélectionnés.

Prenons maintenant un exemple un plus plus riche : $u_n = e^{(-1)^n n}$. On voit que selon la parité de $n$, les termes sont très grands (pour $n$ pair) ou très petits (pour $n$ impair). Donc si on sélectionne que les termes de rang pair, la suite extraite tends vers $+\infty$, et si on sélectionne les termes de rang impair, la suite converge vers $0$.

Pour les exemples :
1- Tu peux d'abord montrer que la suite complète est majorée par la limite de sa sous-suite. Ensuite, tu as une suite croissante majorée, elle admet donc une limite. Cette limite est obligatoirement la même que celle de sa sous-suite.
2- C'est un peu la même chose, la sous-suite est également croissante, comme elle est majorée, elle a une limite, ...
3- C'est un peu similaire à l'exemple que j'ai donné avec la suite $u_n = e^{(-1)^n n}$. Tu peux procéder en construisant directement la sous-suite : au rang $n$, la suite $(u_n)$ n'étant pas majorée, elle possède forcément un terme plus grand que $n$, disons $r(n)$, on peut s'arranger pour avoir $r(n)>r(n-1)$. Donc, par construction $u_{r(n)} > n$.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une équivalent entre compacité et possibilité d'extraire une sous-suite convergente de n'importe quelle suite sur les espaces métriques.