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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- kritikos
- 05-10-2016 08:17:49
salut tout le monde et merci beaucoup pour vos demonstrations
- Yassine
- 02-10-2016 17:41:46
Bonsoir,
Tu supposes donc que $a > b$ et tu veux montrer $\neg P(a,b)$ (j'ai repris ma notation).
On doit donc trouver un $x \in \mathbb{R}$ tel que $x > b$ et $x < a$.
Comme $a > b$, l'intervalle ouvert $]b,a[$ est non vide. Donc, je peux choisir un élément quelconque $x$ de cet intervalle, il vérifiera alors $b < x < a$, soit $x > b$ et $x < a$, ce qui était la propriété attendu. Donc $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x > b$ et $x < a$, soit encore $\neg P(a,b)$.
On a donc $\neg (a \le b) \implies \neg P(a,b)$, et donc $P(a,b) \implies (a \le b)$.
- yoshi
- 02-10-2016 15:01:55
Bonjou,
quelque chose me chiffonne et m'échappe là-dedans :
Soient a et b deux entiers réels tel que :∀x ϵ R, x>b → x≥a. Montrer que a≤b
Je résume :
b < x et a ≤ b, de cela, je conclus a ≤ b < x : l'inégalité stricte s'impose sur l'inégalité au sens large, donc a < x.
Je ne vois pas comment on pourrait avoir a ≤ x...
@+
- kritikos
- 02-10-2016 14:47:14
salut a tous
et merci a vous deux
mais j n'arrive pas toujour a trouver l'absurdite pour la question 2
- Yassine
- 02-10-2016 08:58:50
Bonjour Yoshi,
Pour le contre-exemple, prend d=0,1 et n=2. Tu as alors 0 < 0,2 < 2 et 0 = E(0,2) < 2.
Par contre, l'inégalité stricte est préservée à droite : si x < n, alors E(x) < n.
Mais ça ne pose pas de problèmes pour ta démonstration, tu as juste besoin que l'inégalité soit stricte à droite.
- yoshi
- 02-10-2016 08:21:27
Bonjour,
Pour la question 1., il m'est venu une idée...
Si x est nul ou entier, la question ne se pose même pas.
Moyennant quoi :
soit e=E(x) et d =x-e
Je distingue x>0 et x<0
Partie 1 : x > 0
J'ai alors 0 < d <1 et donc 0< nd <n d'où 0<E(nd)<n (j'ai essayé de trouver un contre-exemple où dans mon cas l'inégalité stricte serait fausse).
E(nx)=ne+E(nd)
[tex]\frac{E(nx)}{n}=e+\frac{E(nd)}{n}[/tex]
Et [tex] 0<\frac{E(nd)}{n}<1[/tex]
D'où
[tex]E\left(e+\frac{E(nd)}{n}\right) = e = E(x)[/tex]
Partie 2 : x <0
..................
Qu'est-ce qui pêcherait là-dedans ?
@+
- Yassine
- 01-10-2016 22:21:27
Pour la question 1, je pense que tu peux y arriver. Il faut juste faire attention au fait que si $x<y$, alors $E(x)\le E(y)$ (l'inégalité stricte n'est pas préservée par le passage à la partie entière).
Pour la question 2, si tu note $P(a,b)$ la propriété qui dit $\forall x \in \mathbb{R}, (x > b \implies x \ge a)$, tu dois montrer que $P(a,b) \implies b \ge a$. Donc ton approche de procéder par l'absurde est correcte. Si je comprends bien tu galères pour bien exprimer la négation de $P(a,b)$.
Je te l'indique : $\neg P(a,b) \equiv \exists x \mathbb{R}, \neg (x > b \implies x \ge a)$, soit encore $\neg P(a,b) \equiv \exists x \mathbb{R}, x > b \textrm{ et } x < a$ (la négation d'une implication c'est que la prémisse soit vraie et la conclusion fausse).
Pour la dernière question, vue que la fonction est juste croissante (et pas continue), c'est un peu plus délicat.
Tu pars d'un réel quelconque $x \in \mathbb{R}$, il faut alors construire deux suites de rationnels, disons $(u_n)$ et $(v_n)$ vérifiant $u_n < x < v_n$ et telles que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} v_n = x$.
En appliquant $f$ à l'inégalité ci-dessus, on obtient $f(u_n) \le f(x) \le f(v_n)$, soit encore, vu que $u_n$ et $v_n$ sont rationnels $u_n f(1) \le f(x) \le v_n f(1)$, ce qui permet de conclure par passage à la limite.
Le plus délicat est donc de construire $u_n$ et $v_n$.
Pour $n$ donné, les intervalles $]x-\frac{1}{n},x[$ et $]x,x+\frac{1}{n}[$ sont des parties de $\mathbb{R}$ non vides. Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, ils contiennent tous les deux des rationnels. J'en prend un quelconque dans le premier que j'appelle $u_n$ et un autre dans le deuxième intervalle qu'on note $v_n$. Par contruction, $(u_n)$ et $(v_n)$ respectent les propriétés requises.
- kritikos
- 01-10-2016 19:56:55
Salut a toi yassine
« E » designe la fonction partie entiere
Ce que j’ai fait :
Pour la question 2,
j’ai essaye de passer par contraposeen voulant montrer que : (a>b)→(x<a et x>b)
je voulait en effet utiliser l’équivalence : p→q ≡non(q)→non(p) en prenant p comme (x>b→x≥a) et q comme a≤b.
Mais ce n’etai pas logique car j’ai fait une mauvaise transformation de la question en quantificateurs mathematiques.
Pour la question 1,
J’ai essaye de montrer que E(E(nx)/n )≥E(x)et E(E(nx)/n )≤E(x) pour conclure .
Voici a quoi ca ressemble
∀n∈Z et ∀x∈R,
nx-1<E(nx)≤nx
→x-1/n<E(nx)/n≤x
→E(x-1/n)<E(E(nx)/n )≤E(x)
Donc E(E(nx)/n )≤E(x)
Pour la question 3, je n’ai aucune idee de comment utiliser la densite de Q dans R.
Merci d’avance de m’aider
- Yassine
- 01-10-2016 15:14:25
Salut à toi,
Deux questions :
- Qu'as tu tenté, qu'est-ce qui te bloque ?
- Qu'est ce que $E(x)$ ? espérance ?
- kritikos
- 01-10-2016 15:04:03
Salut tout le monde
Svp j’ai eu de petit problèmes au niveau de la démonstration des inégalités et des propriétés de certaines fonctions dans R.
En effet voici les questions
1- Montrer que pour tout x réel et n entier , E((E(nx))/n) = E(x)
2- Soient a et b deux entiers réels tel que :∀x ϵ R, x>b → x≥a. Montrer que a≤b
3- Soit f :R→R une fonction croissante tel que ∀x,yϵR,f(x+y)=f(x)+ f(y)
La fonction f vérifie les propriétés suivantes :
∀nϵ N f(n)= nf(1),∀n∈Z,f(n)=nf(1), ∀r ∈Q,f(r)= rf(1)
Démontrer que ∀x∈R f(x)=xf(1). on pouras utiliser la densite de Q dans R
Ne vous moquez pas trop de moi je ne connait pas le latex. J l’ai saisi avec Word
Merci d’avance de votre part.
Bonne soirée a tous