Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

  J'imagine que par la notation log(2), tu veux dire le logarithme décimal de 2.
Car, bizarrement (ou pas!), c'est beaucoup plus simple, à partir d'un peu d'arithmétique élémentaire, de démontrer que le logarithme en base 10 de 2 est irrationnel que le logarithme népérien.

Comme souvent dans ces cas-là, le plus simple est de faire un raisonnement par l'absurde. Supposons que [tex]\log_{10}2[/tex] soit rationnel et s'écrive donc [tex]\log_{10}2=\frac pq[/tex]. Rappelons que [tex]\log_{10}2[/tex] est le réel $x$ tel que $10^x=2$. On aurait donc
$10^{p/q}=2$. On peut élever tout cela à la puissance $q$ et on obtient $10^p=2^q$ soit $2^p5p^p=2^q$. Par unicité du développement en produits de facteurs premiers, on trouverait $p=0$ et $q=p$, soit $\log_{10}2=\frac 11=1$, ce qui est faux!

F.