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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- loubna.math
- 02-05-2016 21:07:57
par curiosité c'est tout , [tex]\delta=\frac{-2||a||M+\sqrt{\Delta}}{2M}[/tex] ça marche l'autre racine est négative
- Fred
- 02-05-2016 20:58:18
Tu cherches une racine positive de l'équation avec les formules usuelles, mais je vais te renverser la question : à quoi faire cela???
- loubna.math
- 02-05-2016 20:48:27
d'accord merci et si je veux trouver un [tex]\delta[/tex] , je calcule le [tex]\Delta[/tex] de [tex]\displaystyle M\delta^2+2M\delta||a||_{\infty}-\varepsilon[/tex] je trouve [tex]\Delta =(2||a||M)^2+4 \varepsilon M[/tex] je termine comment s'il vous plait
- Fred
- 02-05-2016 20:40:28
Il te manque un [tex]\delta[/tex] en facteur de [tex]\|a\|_\infty[/tex] dans ta toute dernière inégalité.
Tu n'es pas obligé de donner une valeur explicité pour [tex]\delta[/tex]. Il suffit de dire que [tex]M\delta(\delta+2\|a\|_\infty)[/tex] tend vers 0 lorsque [tex]\delta[/tex] tend vers 0. On peut donc trouver un [tex]\delta>0[/tex] de sorte que ceci soit inférieur à [tex]\epsilon[/tex].
F.
- loubna.math
- 02-05-2016 20:22:36
Ok merci beaucoup de m'avoir répondu vous avez raison , mais alors j'obtiens : [tex]M\delta(||x_2||+||a_2||)\leq M\delta (||x_2-a_2||+||a_2||+||a_1||)\leq M\delta (\delta +||a_2||+||a_1||)\leq M\delta (\delta +2||a||_{\infty})<\varepsilon[/tex]
Mais comment choisir [tex]\delta[/tex] il faut résoudre [tex]M\delta^2+2M\delta||a||_{\infty}-\varepsilon<0[/tex] ?
Merci
- Fred
- 02-05-2016 19:56:43
Re-
Tu ne peux pas prendre [tex]\delta[/tex] qui dépend de [tex]\|x\|_\infty[/tex] car [tex]\delta[/tex] est choisi avant [tex]x[/tex] (relis bien l'ordre des quantificateurs dans la définition de la continuité). [tex]\delta[/tex] ne peut dépendre que de [tex]f,\epsilon,a[/tex].
F.
- loubna.math
- 02-05-2016 14:46:55
Je reprend du début : je dois montrer que [tex]f[/tex] est continue i.e pour [tex]a=(a_1,a_2)\in E_1\times E_2[/tex], on doit chercher [tex]\delta>0[/tex] tel que [tex]||(x_1,x_2)-(a_1,a_2)||_{\infty}\leq \delta[/tex] implique que [tex]||f(x_1,x_2)-f(a_1,a_2)||\leq \varepsilon[/tex]
[tex]||f(x_1,x_2)-f(a_1,a_2)||=||f(x_1-a_1,x_2)+f(a_1, x_2-a_2)||\leq \\ ||f(x_1-a_1, x_2)||+||f(a_1, x_2-a_2)||\leq \\ M||x_1-a_1||\times||x_2||+M ||a_1||\times ||x_2-a_2|| \leq \\ M\delta(||x_2||+||a_1||) <\varepsilon[/tex]
est ce que je peux dire que [tex]||x_2||\leq ||(x_1,x_2)||=\max ||x_i||[/tex] et même chose pour [tex]||a_2||[/tex] ? sans faire rentrer \delta une autre fois
comme cela il suffit de prendre [tex]\delta\leq \frac{\varepsilon}{M(||x||_{\infty}+||a||_{\infty})}[/tex]
[tex]
x=(x_1,x_2), a=(a_1,a_2)[/tex]
Qu'en dites vous ?
merci
- loubna.math
- 02-05-2016 12:25:10
S' il vous plait comment on fait pour trouver [tex]\delta[/tex] ?
- Fred
- 02-05-2016 06:16:41
Par l'inégalité triangulaire, en écrivant [tex]x_1=(x_1-x)+x[/tex].
La norme que tu proposes est bonne, mais n'importe quel norme produit ferait l'affaire (enfin, moi j'ai noté les couples (x,y) ).
F.
- loubna.math
- 01-05-2016 21:14:47
s'il vous plait comment vous déduisez que [tex]\displaystyle \|x_1\|\leq \|x\|+\delta\leq M+\delta[/tex] et je prend [tex]||(x_1,x_2)||=\max(||x_1||,||x_2||)[/tex] ça marche ?
Merci beaucoup
- Fred
- 23-04-2016 20:03:23
En reprenant mes notations du post #7,
si [tex] \| (x,y)-(x_1,y_1)\|\leq \delta [/tex], alors [tex]\|x-x_1\|\leq \delta,\ \|y-y_1\|\leq \delta[/tex] ce
qui implique en particulier [tex]\|x_1\|\leq \|x\|+\delta\leq M+\delta [/tex]. On a donc
[tex]\|f(x,y)-f(x_1,y_1)\|\leq MK\delta+M(K+\delta)\delta\leq\varepsilon[/tex] pourvu que [tex]\delta[/tex] est assez petit.
- loubna.math
- 23-04-2016 19:30:34
Mr Fred bonsoir, je suis revenu sur l'exercice et je n'arrive pas a terminer, pouvez vous m'aider s'il vous plait
- loubna.math
- 09-04-2016 21:35:39
je n'ai rien compris a ce que vous avez écris mr ostap bender
- Ostap Bender
- 09-04-2016 21:02:06
Bonsoir Loubna.
Tu te poses des questions bien compliquées pour ce problème.
Je note abusivement toutes les normes [tex]\Vert\cdot\Vert[/tex] Combien y en a-t-il au fait ?
Si [tex]f[/tex] est bilinéaire continue, alors ses applications partielles - qui sont des applications linéaires - sont continues.
En particulier, pour [tex]x_1[/tex] fixé, [tex]f(x_1,\cdot)[/tex] est linéaire continue :
[tex]\forall (x_1,x_2)\in E\times F, \Vert f(x_1,x_2) \Vert \leq \Vert f(x_1,\cdot)\Vert \Vert x_2 \Vert[/tex]
Maintenant, je prends [tex]\epsilon>0[/tex] et [tex]x_2^0 \in F, \Vert x_2^0 \Vert = 1 \text{ et } \Vert f(x_1,x_2^0) \Vert + \epsilon\geq \Vert f(x_1,\cdot)\Vert [/tex]
Ensuite par continuité de [tex]f(\cdot,x_2^0)[/tex], tu as [tex]\forall x_1\in E, \Vert f(x_1,x_2^0) \Vert \leq \Vert f(\cdot,x_2^0) \Vert \Vert x_1 \Vert [/tex].
Il ne te reste plus qu'à tout mettre ensemble pour avoir un [tex]K[/tex]. Lequel au fait ?
Ostap Bender
- loubna.math
- 08-04-2016 21:39:13
La norme n'est pas précisé .
comment faire pour ||x-x_1|| et ||y-y_1|| s'il vous plait