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et si on n'a pas de logiciel pour faire le tracé? Juste une feuille est un style, comment on montre que 0 est la seule et unique solution?

J'ai le problème aux limites suivant:
$$
\begin{cases}
y"+\lambda y=0\\
2 y(0)-y(\pi)=0\\
2 y'(0)+y(\pi)=0
\end{cases}
$$
La question est de déterminer les valeurs propres du problème. Pour ca je souhaite utiliser deux méthodes: la première est de considérer $_lambda=0$ et $\lambda \in \C^*$, la deuxième est de considérer $\lambda=0$, $\lambda >0$ et $\lambda < 0$.
Cas 1. $\lambda < 0$ on pose $\lambda=-\alpha^2$, où $\alpha \in \R^*$ et dans ce cas, la solution générale s'écrit
$$
y(x)= C_1e^{\alpha x}+ C_2 e^{-\alpha x}
$$
où[tex] (C_1,C_2)[/tex] vérifie un système linéaire homogène dont le déterminant est:
$$
det= -8+4 e^{-\alpha \pi}
$$
[tex]det = 0$[/tex] implique [tex]\alpha= -\dfrac{\ln(2)}{\pi}[/tex]. Le problème admet alors des valeurs propres strictement négatives: [tex]\lambda= \left(-\dfrac{\ln(2)}{\pi}\right)^2
[/tex]
Cas 2.[tex]$lambda >0[/tex]. On pose [tex]\lambda = \alpha^2[/tex], où [tex]\alpha \in \mathbb{R}^*[/tex] Dans ce cas, la solution générale de l'edo est
$$
y(x)= C_1 \cos(\alpha x)+ C_2 \sin(\alpha x)
$$
où[tex] (C_1,C_2)[/tex] vérifie le système
$$
\begin{cases}
C_1(2 - \cos(\alpha \pi)) - C_2 \sin(\alpha \pi)=0\\
C_1 \cos(\alpha \pi) + C_2 (2 \alpha + \sin(\alpha \pi))=0
\end{cases}
$$
Le déterminant de ce système est:
$$
det= 4 \alpha + 2 \sin(\alpha \pi) - 2 \alpha \cos(\alpha \pi)
$$
[tex]det =0[/tex] implique[tex] 2 \alpha + \sin(\alpha \pi)- \alpha \cos(\alpha \pi)=0[/tex]
À ce point, je bloque. Comment résoudre cette équation trigonométrique?
Merci beaucoup.