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Pour les questions: est ce que [tex]\widehat{f}[/tex] est continues? est-ce qu'elle est de classe [tex]C^{\infty}[/tex]? Est-ce qu'elle est dans [tex]S'(\mathbb{R})[/tex]?
Les réponses que je propose sont: oui, [tex]\widehat{f}[/tex] est continue, elle est de classe [tex]C^{\infty}[/tex] puisque c'est le produit d'un polynôme et une fonction exponentielle, et elle est dans [tex]S'(\mathbb{R})[/tex] parce qu'elle est intégrable (dans [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex]). Vous êtes d'accord?

je ne comprend pas ce que vous voulez dire. Il y avait une erreur de frappe, je l'ai corrigé. Mon résultat est faux?

ok! C'est compris maintenant. On trouve
$$
\widehat{f}(\xi)= \dfrac{1}{1+\xi^2}(e^{-i \dfrac{\pi}{2} \xi} + e^{i \dfrac{\pi}{2} \xi})
$$
ainsi c'est correct?
- Autre question: comment répondre à la question: est ce que $\widehat{f}$ est continue? Moi je dis que oui car l'exponentielle est continue. Il y'a quelque chose de plus à dire?

Bonjour,
j'ai la fonction suivante: $f(x)= \cos(x)$ si $x \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ et 0 sinon. J'ai les questions suivantes:
1. est ce que la transformée de Fourier et paire? Comment le savoir?
2. Pour le calcul de la transformée de Fourier de f, voici ce que je propose:
$\widehat{f}(\xi)= \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) e^{-ix\xi} dx$
en utilisant l'ipp, on pose $u(x)= e^{-i x \xi}$ qui implique $u'(x)= - i \xi e^{-i x \xi}$ et $v'(x)= \cos(x)$ qui implique $v(x)=\sin(x)$
et donc
$$
\widehat{f}(\xi)= e^{-i \pi/2 \xi} + e^{i \pi/2 \xi} + i \xi \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x)e^{-i x \xi} dx
$$
puis en utilisant l'ipp pour calculer $ \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x)e^{-i x \xi} dx$, on pose $u(x)= e^{-i \xi}$ implique $u'(x)= -i \xi e^{-i x \xi}$ et $v'(x)= \sin(x)$ implique $v(x)= - \cos(x)$ qui donne que
$$
\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x)e^{-i x \xi} dx= - i \xi \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) e^{_i x \xi} dx
$$
et donc
$$
(1+i \xi) \widehat{f}(\xi)= e^{-i \pi/2 \xi} + e^{i \pi/2 \xi}
$$
qui implique que
$$
\widehat{f}(\xi)= \dfrac{2}{1 + i \xi} \cos(\dfrac{\pi}{2} \xi)
$$
est  ce que c'est correct?