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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Hinane
- 22-03-2016 20:25:18
La derivée de u au sens des distributions est [tex]\varphi(0)\delta+H\varphi'[/tex]
- Hinane
- 21-03-2016 16:52:39
Devil,
u est un produit de deux fonctions
Question: comment on dérive un produit ?
- Fred
- 21-03-2016 13:33:12
Voici quelques indications. Réfléchis-y bien avant de revenir nous voir si tu ne conclus toujours pas :
2)c) [tex]\mathcal S(\mathbb R)[/tex] est stable par la transformée de Fourier, ou par la transformée de Fourier inverse. Donc si
[tex]\mathcal F(H\varphi')[/tex] était dans [tex]\mathcal S(\mathbb R)[/tex], on aurait aussi....
d) Tu as [tex]\mathcal F(u)(x)=\frac{1}{ix}+\frac{1}{ix}\mathcal F(H\varphi')(x)[/tex]
Je te propose de démontrer que [tex]\mathcal F(u)(x)\sim \frac{1}{ix}[/tex]. Pour cela, utiliser le fait que la transformée de Fourier d'une fonction intégrable tend vers 0 à l'infini.
e) Cela se déduit facilement de d), par exemple en prenant [tex]s=1[/tex].
F.
- tintin
- 21-03-2016 12:45:30
Bonjour,
j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à traiter entièrement. Je vous remercie par avance de m'aider.
1. Soit [tex]H[/tex] la fonction de Heaviside, et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex] Donner une condition sur [tex]\varphi[/tex] pour que la fonction [tex]H.\varphi[/tex] soit dans [tex]H^1(\mathbb{R}).[/tex]
2. Soit maintenant [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] telle que [tex]\varphi=1[/tex] au voisinage de 0. On pose [tex]u=H.\varphi.[/tex]
a. Calculer la dérivée [tex]u'[/tex] en fonction de [tex]\varphi'.[/tex]
b. calculer la transformée de Fourier de u en fonction de la transformée de Fourier de [tex]H \varphi'[/tex]
c. Est-ce que [tex]F(H \varphi') \in S(\mathbb{R})?[/tex]
d. Montrer que [tex]F(u) \sim \dfrac{C}{x^{\alpha}}[/tex] au voisinage de [tex]+\infty[/tex], tels que [tex]C[/tex] est une constante, et [tex]\alpha[/tex] un réel à déterminer.
e. On définit l'espace [tex]H^s(\mathbb{R})= \{u \in L^2(\mathbb{R}), |x|^s F(u) \in L^2(\mathbb{R})\}[/tex]. Déterminer un réel[tex] s\geq 0[/tex] tel que [tex]u[/tex] ne soit pas dans [tex]H^s(\mathbb{R})[/tex]
Voici ce que je propose:
1. on note [tex]u(x)=H(x) \varphi(x)[/tex]. Pour que u soit dans H^1, il faut et il suffit que [tex]u\in L^2[/tex] et [tex]u' \in L^2[/tex]
D'un côté on a [tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |u|^2 dx = \displaystyle\int_0^{+\infty}|\varphi|^2 dx = \displaystyle\int_0^a |\varphi|^2 dx[/tex] qui est toujours finie puis [tex]\varphi[/tex] est continue sur un compact, donc elle est bornée, et d'un autre côté, [tex]u'(x)= H(x) \varphi'(x)[/tex], et on a donc [tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} [u'|^2 dx = \displaystyle\int_0^a |\varphi'|^2 dx[/tex] qui est lui aussi toujours fini.
Conclusion: je ne trouve aucune condition sur la fonction test [tex]\varphi[/tex] pour que [tex]u[/tex] soit dans[tex] H^1[/tex].
2.
a. je trouve [tex]u'(x)= H(x)\varphi'(x).[/tex]
b. Je trouve [tex]F(u)= \dfrac{1}{i\xi} \varphi(0) + \dfrac{1}{i \xi} F(H \varphi').[/tex]
pour les questions c, d, et e je n'y arrive vraiment pas.
Merci par avance pour l'aide.