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Le truc c'est qu'à la question d'après, on me demande de prouver que f est constante... f(ta,tb)=f(a,b) vient avant..

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide sur l'exercice suivant :

Soif f:[tex]\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] une fonction différentiable sur [tex]\mathbb{R}^{2}[/tex] qui vérifie : [tex]x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0,     \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}[/tex].
Soient (a,b) [tex]\in \mathbb{R}^{2}[/tex] et F: [tex]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] définie par [tex]F(t)=f(ta,tb)[/tex].

1- Montrer que F est dérivable sur [tex] \mathbb{R}[/tex] et calculer F'(t). En déduire [tex]f(ta,tb)=f(a,b), \forall t>0[/tex].
2- Montrer que f est constante.

Voici ma réponse:
1- La fonction t[tex]\rightarrow[/tex](ta,tb) est de classe [tex]C^{1}[/tex] car polynomiale donc F est de classe [tex]C^{1}[/tex].
Pour calculer F'(t), on utiliser la formule de dérivation d'une fonction composée :
Je pose u(t)=ta et v(t)=tb.
[tex]F'(t)=u'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(u(t),v(t))+v'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(u(t),v(t))=a\frac{\partial f}{\partial x}(ta,tb)+b\frac{\partial f}{\partial x}(ta,tb)[/tex].

Et c'est à partir de là que je bloque sur la deuxième partie de la question 1 car comme on n'a pas l'expression de f, je ne sais pas comment faire...
Pouvez vous me dire si ce que j'ai fait et correct et aussi une piste sur déduire que f(ta,tb)=f(a,b).

Merci d'avance !