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Fred · 07-03-2016 22:07:42

Regarde bien où sont disposés les quantificateurs dans ma méthode.

convergence · 07-03-2016 21:45:37

mais j'utilise votre méthode je peux passer au sup ?

Fred · 07-03-2016 21:42:15

C'est une question de permutation de quantificateur.
Dire que [tex](f_n(t))[/tex] converge pour tout t signifie :
[tex]\forall t\in [a,b], \forall \epsilon>0,\ \exists n_0:=n_0(\epsilon,t)\in\mathbb N,\ n\geq n_0\implies |f_n(t)-f(t)|<\epsilon.[/tex]

Dire que [tex](f_n)[/tex] converge signifie que
[tex]\forall \epsilon>0,\ \exists n_0:=n_0(\epsilon),\ \forall t\in [a,b],\ n\geq n_0\implies |f_n(t)-f(t)|<\epsilon.[/tex]

Tu ne peux pas passer au sup parce que tu ne peux pas permuter les quantificateurs quelque soit sur t et il existe sur n0.

F.

convergence · 07-03-2016 21:25:10

C'est vrai vous avez raison, ou est l'erreur de dire que comme (f_n(t)) converge vers f(t) pour tout $t$ dans (R,|.|), alors on passe au sup et on obtient la convergence sur (E,d_1) ?

Fred · 07-03-2016 21:19:26

Si tu sais que [tex]|f_p(t)-f(t)|<\epsilon/2[/tex], je ne vois pas pourquoi tu démontres que [tex]|f_n(t)-f(t)|<\epsilon[/tex]. Change juste le nom de p en n!

convergence · 07-03-2016 21:15:44

Ce que j'ai dit est juste s'il vous plait ?

convergence · 07-03-2016 21:05:23

On peut dire : soit [tex]\varepsilon >0[/tex] et [tex]t\in [a,b][/tex] et [tex]p\geq n_0[/tex] on a

[tex]|f_n(t)-f(t)|\leq |f_n(t)-f_p(t)|+|f_p(t)-f(t)|\leq \varepsilon/2+\varepsilon/2 =\varepsilon[/tex] le premier car $(f_n)$ est de Cauchy la second c'est parceque [tex](f_n(t))[/tex] converge vers [tex]f(t)[/tex]

comme c'est vrai pour tout[tex] t\in [a,b][/tex] on peut passer au sup c'est bon ?

Fred · 07-03-2016 20:56:40

Puisque [tex](f_n)[/tex] est de Cauchy, pour tout [tex]\epsilon>0[/tex],
il existe [tex]N[/tex] tel que si [tex]n,p\geq N[/tex], alors pour tout [tex]t\in [a,b][/tex], on a
[tex] |f_n(t)-f_p(t)|\leq\varepsilon.[/tex]
On fait tendre [tex]p\to+\infty[/tex] en laissant [tex]n[/tex] échanger. On en déduit que, pour tout [tex]t\in [a,b][/tex], on a
[tex] |f_n(t)-f(t)|\leq\varepsilon[/tex].

F.

convergence · 07-03-2016 20:07:08

J'ai montré que f est continu, mais pouvez vous m'aider pour montrer que : [tex]\forall\varepsilon>0, \exists n_0\in \mathbb{N}, \forall n\in \mathbb{N}, n\geq n_0\Rightarrow \sup_{t\in[a,b]}|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon[/tex]

merci

Fred · 07-03-2016 11:09:06

C'est une distance associée à une norme!

convergence · 07-03-2016 11:04:46

merci mais d_w c'est une distance pas une norme

Fred · 07-03-2016 10:48:47

Ce n'est pas trop cela, non. Je n'ai pas envie de réécrire ce que j'ai déjà écrit ailleurs. Dans cette feuille d'exercices, il y a plein d'exercices similaires au tien. Je pense même que le tien correspond à une partie de l'exercice 10...

convergence · 07-03-2016 10:01:33

Je prend une suite [tex](t_n)[/tex] de [tex][a,b][/tex] qui converge vers [tex]t\in [a,b][/tex] et je montre que [tex]f(t_n)[/tex] converge vers [tex]f(t)[/tex] ?

mais je n'ai pas d'information sur f?

Fred · 06-03-2016 22:46:07

Oui, mais comme je l'ai dit au post #4, la première chose à faire est de fabriquer la limite.
Pour chaque [tex]t\in[a,b][/tex], tu as donc démontré que la suite [tex](f_n(t))[/tex] converge vers un réel [tex]f(t)[/tex].
Il reste à montrer ensuite deux choses : que la fonction [tex]f[/tex] est continue, et que la suite [tex](f_n)[/tex] converge vers [tex]f[/tex]
au sens de la norme de [tex]E[/tex].

convergence · 06-03-2016 22:36:45

elle est convergente !mais ça c'est pour la distance standard |.| uniquement

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