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Fred · 11-02-2016 12:10:01

Oui. Comme il y a une seule solution le noyau est réduit à 0 et donc on a un isomorphisme...
A toi de jouer pour les autres cas...

milexarc · 11-02-2016 12:06:44

Qu'elle est bijective ?
donc c'est un isomorphisme ?

Fred · 11-02-2016 05:35:35

Oui ! Et donc le fait que l'equation f (x,y,z)=(1,-1,0) admet une unique solution signifie quoi sur cette application linéaire ?

milexarc · 11-02-2016 00:33:18

Bonsoir Fred,

heu ... f(x,y,z) = (y+mz ; z+mx ; x+my) ?

Fred · 10-02-2016 21:26:04

Salut,

On va aller doucement parce que j'ai l'impression que tu n'as pas tout compris....
Commençons pour m=0. Evidemment, pas de problèmes concernant la résolution du système.
L'interprétation en termes d'applications linéaires, de noyau et d'image me semble plus hasardeuse....
Je ne comprends pas d'où tu sors ton [tex]f_1[/tex] (si ce n'est en faisant la somme de toutes les équations....)
mais je ne vois pas le rapport avec l'exercice.

D'abord, une application linéaire, c'est une fonction d'un espace vectoriel dans un autre (qui conserve la linéarité, mais c'est avant tout une fonction). Quand tu écris ce n'est pas une application linéaire, car 0 n'est pas solution, je ne comprends pas ce que tu veux dire.

Alors, revenons à nos moutons. Quand tu as un système linéaire comme le tien, on peut toujours l'interpréter à l'aide d'une application linéaire.
On te demande ici de trouver une application linéaire [tex]f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3[/tex] telle que
[tex]f(x,y,z)=(1,-1,0)\iff \left\{\begin{array}{rcl}
y+mz&=&1\\
z+mx&=&1\\
x+my&=&0
\end{array}\right. .
[/tex]
Quelle est cette application linéaire?

F.

milexarc · 10-02-2016 19:01:01

Bonjour :)
J'aurais besoin d'une vérification de votre part afin de voir si je n'ais pas fait (trop) d'erreur

Soit [tex]m\in\mathbb{R}[/tex]. Résoudre suivant les valeurs de m le système suivant :
[tex]\left \{\begin{array}{ccc}
y + mz &=& 1\\
z + mx &=& -1\\
x + my &=& 0
\end{array}\right.[/tex]

Donner une interprétation en termes d'applications et de formes linéaires, de noyau et d'image

Ma réponse :
Si [tex]m = 0[/tex] Le système admet une seule solution qui est (x, y, z) = (0, 1, -1)
Notons [tex]f_1(x,y,z) = x + y + z[/tex]
J'ai vérifié que c'était bien une application linéaire.
Le noyau est (0, 1, -1) et l'image est ((1, 0, 0) ; (0, 1, 0) ; (0, 0, 1))

Dans la suite on suppose [tex]m\neq 0[/tex]
la matrice associé au système est :
[tex] M= \left[\begin{array}{cccc}0&1&m&1\\m&0&1&-1\\1&m&0&0\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{cccc}1&m&0&0\\0&1&m&1\\0&0&1+m^3&-1+m^2\end{array}\right] [/tex]

Si [tex]m=-1[/tex]
[tex] M= \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{array}\right] [/tex]

Le système est équivalent à :
[tex]\left \{\begin{array}{ccc}
x&=&1+z\\
y&=&1+z\\
&&z\in\mathbb{R}
\end{array}\right.
[/tex]
Ce n'est pas une application linéaire car [tex]0_{\mathbb{R}^3}[/tex] n'est pas solution

On suppose maintenant que [tex]m\neq 0[/tex] et [tex]m\neq -1[/tex]

Le système est équivalent à :
[tex]\left \{\begin{array}{ccc}
x+my &=& 0\\
y + mz &=& 0\\
(1+m^3)z &=& -1+m^2
\end{array}\right.
[/tex]

D'où :
[tex]]\left \{\begin{array}{ccc}
x &=& \frac{m^2(-1+m^2)}{1+m^3}\\
y&=&\frac{-m(-1+m^2)}{1+m^3}\\
z &=& \frac{-1+m^2}{1+m^3}
\end{array}\right.
[/tex]

en faisant la somme des équations du système on obtient :
[tex]f_2(x,y,z)=m(x+1) + y(m+1) + z(m+1)=0[/tex]
Il s'agit bien d'une application linéaire.

Le noyau est [tex]( \frac{m^2(-1+m^2)}{1+m^3}; \frac{-m(-1+m^2)}{1+m^3}; \frac{-1+m^2}{1+m^3})[/tex]

L'image est [tex]((1,0,0);(m,1,0),(0,m,1+m^3))[/tex]

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