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Ostap Bender · 02-02-2016 11:58:45

Oui, tout groupe s'admet lui-même parmi ses sous-groupes.

Ostap Bender

milexarc · 02-02-2016 11:09:12

<1> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_1[/tex]

G est un sous groupe de G ?

Merci beaucoup pour ton aide :)

Ostap Bender · 02-02-2016 11:05:16

[tex]\langle 1 \rangle[/tex] est fini. Il ne peut pas être isomorphe à un groupe infini comme [tex]\mathbf Z[/tex].
Sinon je suis d'accord avec le reste.
Il manque simplement le sous-groupe [tex]G[/tex].

Ostap Bender

milexarc · 02-02-2016 10:12:47

pour la dernière question)
Je sais que tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] donc :
<1> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}[/tex]
<3>, <7>, <13> et <17> sont isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_4[/tex]
<9> , <11>, <19> sont isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_2[/tex]

Par contre pour les sous groupes de la question précédente je ne sais pas

EDIT 1 : Je dirais que <11,19> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_4[/tex]et que les autres ne sont pas isomorphe car non cyclique
EDIT 2 : ah bin non ... <11, 19> n'est pas cyclique car il est engendré par 2 éléments ..

milexarc · 02-02-2016 10:06:38

Bonjour,

<3,11> = <3,13> = <3,19> = <11,13> = <13,19> = G
Un ensemble de générateur est donc (3, 11, 13, 19)

<11,19> = {1, 11, 19, 9}
Un ensemble de générateur est (11, 19)

Je n'en ai pas oublié ?

Ostap Bender · 01-02-2016 20:56:16

Je confirme.

Maintenant tu as un groupe d'ordre 8. Ses sous-groupes sont d'ordre 1,2,4 ou 8.
Tu as 1 élément d'ordre 1.
3 2.
4 4.
Dès que tu rajoutes un élément extérieur à un sous-groupe d'ordre 4, boum, tu passes tout de suite à l'ordre 8 c'est-à-dire à G tout entier.
Restent les éléments d'ordre 2 que tu peux combiner : 11,19 et 9.
As-tu tous les sous-groupes de G ?

Ostap Bender.

milexarc · 01-02-2016 20:13:18

<11,19> = {1, 11, 19, 9}

milexarc · 01-02-2016 20:07:41

Merci beaucoup pour ton aide :D

milexarc · 01-02-2016 20:06:32

3 x 3 = 9
nan ? ^^

Je suppose que tu veux dire 3 x 11 :)
ok, je vois le principe : 9 x 11 = 19 et 7 x 11 = 17

Je fais une pause et je continue ce soir où demain matin ...

Ostap Bender · 01-02-2016 20:00:49

Non, ça ne suffit pas. Parmi les éléments de [tex]\langle 3,11 \rangle[/tex], tu as [tex]3\times3 = 13[/tex] par exemple.

Ostap Bender

Oups ! [tex]3\times11 = 13[/tex] bien sûr. Merci d'avoir rectifié !

milexarc · 01-02-2016 19:45:10

Je ne comprend pas ...
ne faut-il pas rassembler les éléments de <3> et de <11>?

Ostap Bender · 01-02-2016 19:34:26

Tu vas prendre les générateurs par deux, par exemple
[tex]\langle 3,11 \rangle = \{1,3,9,7,11, 13,19,17 \} = G [/tex]. Ce qui prouve au passage que [tex]G[/tex] peut être engendré par deux éléments seulement.

Essaye de calculer [tex]\langle 11,19 \rangle [/tex].

Ostap Bender

milexarc · 01-02-2016 19:26:44

ah ... ok !
Alors, je sais que pour que G' soit un sous-groupe de G il faut que [tex]x.y\in G' \quad \forall x,y\in G[/tex], ça c'est la théorie mais en pratique, je bloque :/ tu peux me montrer un exemple stp ?

Ostap Bender · 01-02-2016 19:18:56

Jusque-là, tu as dressé la liste de tous les sous-groupes cycliques. Dans le 5. On te demande tous les sous-groupes, parmi lesquels il y a [tex]G[/tex] par exemple.

Ostap Bender

milexarc · 01-02-2016 19:13:38

Oui c'est un oubli

<17> = {1,7,9,3}

Quelle est la différence entre cette question et la 5 ?

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