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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Ostap Bender
- 24-01-2016 21:14:17
Présenté comme ça, c'est correct, à condition de bien conclure en disant que [tex]\ln(1+o(1)) = o(1) = o(\ln(x))[/tex]. L'équivalence en résulte.
Je rappelle qu'il n'y a pas de résultat général : en zéro, on a [tex]1 + x \sim 1 + x^2[/tex] mais [tex]\ln(1+x)\sim x[/tex] et [tex]\ln(1+x^2)\sim x^2[/tex].
D'accord ?
Ostap Bender
- Aby0
- 24-01-2016 21:02:41
oui, merci beaucoup!
Donc pour l’équivalence:
on effectue le DL en 0 a l'ordre 1: sin(x)=x+o(x)
ce qui donne ln(sin(x)) = ln(x+o(x)) = ln(x)+ln(1+o(1)).
On peut donc en conclure l’équivalence ln(sin(x))~ln(x) en 0
- Ostap Bender
- 24-01-2016 20:53:34
Effectivement, on trouve [tex]\int_0^\pi \ln((x/2)^2) \,\mathrm dx [/tex] par un petit calcul de primitive (et un passage à la limite en zéro).
As-tu tous les éléments pour constituer une preuve complète de la convergence de ton intégrale de départ ?
Si c'est oui, je te propose de démontrer l'équivalence en zéro entre [tex]\ln(\sin x)[/tex] et [tex]\ln(x)[/tex].
Ostap Bender
- Aby0
- 24-01-2016 20:47:59
ln((x/2)²)=2ln(x/2)=2[ln(x)-ln(2)]
Or l'intégrale de ln(x) de 0 à pi donne 2pi(ln(pi)-1)
donc l'integrale de ln((x/2)²) est convergente
- Ostap Bender
- 24-01-2016 19:43:03
Oh que c'est mal écrit !
La limite (c'est la limite d'une fonction) est une constante ! Une limite, ça ne varie pas, c'est unique.
La limite de l'intégrande, [tex]\displaystyle \ln\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)[/tex] , existe. Donc l'intégrale n'est pas vraiment impropre. C'est une bonne grosse intégrale de Riemann.
Maintenant, peux-tu me démontrer que [tex]\int_0^\pi \ln((x/2)^2) \,\mathrm dx [/tex] converge ?
Ostap Bender
- Aby0
- 24-01-2016 19:15:03
La limite est de 0, je peux donc en déduire que la limite de l’intégrale est égale à une constante donc elle est convergente.
- Ostap Bender
- 24-01-2016 18:34:50
Tu ne peux pas utiliser l'equivalent[tex] \ln(\sin x)\sim\ln(x)[/tex] en 0 parce que tu ne l'as pas démontré.
Démontre-le (c'est vrai) et c'est terminé (ou presque).
Sinon, que peux-tu dire de la limite lorsque x tend vers 0 de [tex]\ln\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)[/tex] ?
Que peux-tu en conclure pour la convergence de mon intégrale ?
Ostap Bender
- Aby0
- 24-01-2016 18:02:21
je comprends pas vraiment pourquoi on peux pas utiliser l'equivalence ln(sinx)~ln(x) en 0?
sinon pour l'integrale j'arrive à : 2∫ln(sin(x/2)/(x/2))dx , mais je serais encore tenté d'utiliser l'equivalence pour montrer la convergence...
- Ostap Bender
- 24-01-2016 17:30:43
Elle me convient très bien !
J'ai envie de dire que l'intégrale de [tex]\ln(\sin^2(x/2))[/tex] va être de même nature que celle [tex]\ln((x/2)^2)[/tex]. Mais je ne peux pas parler d'équivalents comme ça, comme on l'a vu plus haut. Du coup, je m'intéresse à la différence de ces deux fonctions.
Peux-tu me démontrer que [tex]\int_0^\pi \left( \ln(\sin^2(x/2)) - \ln((x/2)^2) \right)\,\mathrm dx [/tex] converge ?
Ostap Bender
- Aby0
- 24-01-2016 17:17:34
la seule expression que je vois serait 1-cos(x)=2sin²(x/2).
- Ostap Bender
- 24-01-2016 16:28:52
Bien, connais-tu une expression simple de [tex]1-\cos x[/tex] ?
Ostap Bender
- Aby0
- 24-01-2016 14:21:12
Je dirais en 0 puisque 2-2cos(x) doit être strictement positive ?
- Ostap Bender
- 24-01-2016 13:29:08
Je brûle surtout d'impatience de voir la réponse à ma question.
Où se situe l'impropreté de ton intégrale ? Pour quelles valeurs de [tex]a[/tex] les intégrales [tex]\int_a^t\ln(2-2\cos x)\,\mathrm dx[/tex] ne sont pas des intégrales au sens de Riemann mais des intégrales généralisées ou impropres ?
Ostap Bender.
- freddy
- 24-01-2016 12:03:03
Re,
attends qu'Ostap veuille bien te montrer la convergence, je suis sûr qu'il en brûle d'envie :-)
Sinon, je m'y collerai.
- Aby0
- 24-01-2016 10:51:20
Montrer la convergence de l’intégrale est la première question d'un exercice dont le but est justement de calculer l'intégrale, donc je sais qu'elle est égale à 0 mais je ne peux pas l'utiliser :)