Forum de mathématiques - Bibm@th.net

En fait, j'étais pas loin mais ce qui me manquait c'était de considérer qu'au voisinage de l'infini [tex](n+1)^\alpha[/tex] tendait vers [tex]n^\alpha[/tex] (la honte!!!!), ce qui permettait d'obtenir [tex]\frac{-\alpha}{n^{\alpha+1}}[/tex]

Pour ce qui est de déterminer la limite de [tex]\frac{1}{n^\beta}[/tex] avec [tex]\beta=1+\alpha[/tex], je te rassure je devrais pouvoir m'en sortir seul....

Un grand merci Fred. C'était fastidieux mais finalement j'ai compris, ce qui est pour moi le plus important. C'est tout de même pas facile tout ça.

Bonne soirée

Neodole

Merci beaucoup Fred pour ton aide.

J'obtiens ainsi:
[tex]xn=-\frac{\alpha}{n(n+1)^\alpha}[/tex]

Ce qui me permet de poser que:
[tex]\sum_{k>=2} Un\,=\,(1-\frac{1}{2^\alpha})-\frac{\alpha}{n(n+1)^\alpha}[/tex]

Je peux donc étudier:
1) Cas α=0: la série converge
[tex]\sum_{k>=2} Un\,=0[/tex]

2) Cas α=-1:la série converge aussi
[tex]\sum_{k>=2} Un\,=0[/tex]

3) Cas α≠{0,-1}:

Mais dans ce cas, comment faire? Si j'étudie la convergence quand n tend vers +∞ de Xn, le résultat dépendra forcement du signe de α.

Neodole

Bonsoir Fred,

Merci pour ta suggestion mais après avoir creuser la question en écrivant la somme, je n'aboutis pas à un résultat très concluant...mais bon j'ai peut-être un problème de logique ensuite.

[tex]\sum_{k=2}^5 Un= \sum_{k=2}^5 (\frac{1}{(n-1)^\alpha}+\frac{1}{(n+1)^\alpha}-\frac{2}{(n)^\alpha})[/tex]
[tex]\sum_{k=2}^5 Un= (1+\frac{1}{3^\alpha}-\frac{2}{2^\alpha})+(\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}-\frac{2}{3^\alpha})+(\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{5^\alpha}-\frac{2}{4^\alpha})+(\frac{1}{4^\alpha}+\frac{1}{6^\alpha}-\frac{2}{5^\alpha})[/tex]
[tex]\sum_{k=2}^5 Un=1-\frac{1}{2^\alpha}-\frac{1}{5^\alpha}+\frac{1}{6^\alpha}[/tex]

Dans la logique des choses, je généralise pour n>=2.
[tex]\sum_{k>=2} Un=(1-\frac{1}{2^\alpha})-\frac{1}{n^\alpha}+\frac{1}{(n+1)^\alpha}[/tex]

Et ensuite.....je ne vois pas où ça me mène.

Si tu as une idée, je suis preneur car je bloque là encore....désolé mais c'est loin d'être simple pour moi.

Merci encore pour l'entraide c'est très sympa.

@+
Neodole

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice concernant l'étude de la convergence d'une série numérique dont le terme générale est, avec n>=2:
[tex]
Un=\frac{1}{(n-1)^\alpha}+\frac{1}{(n+1)^\alpha}-\frac{2}{(n)^\alpha}
[/tex]

Question:
Étudier la convergence de la série en distinguant les cas où α=0, α=-1 et α≠{0,-1}.

Pour les 2 premiers cas, je trouve que la suite Un est une suite stationnaire de terme constant nulle et j'en déduis donc que la série de terme générale Un converge vers 0. Pour le dernier cas, ça se complique. L'énoncé suggère d'utiliser les développements limités ainsi qu'un équivalent adéquat....

Pour ma part, je n'ai pas réussi à trouver comment passer par un DL. La série de terme général Un est une somme de 3 séries dont au premier coup d'oeil une de Rieman telle que:
[tex]
\sum_{n=2}^{+\infty} Un=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n-1)^\alpha}+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^\alpha}-2*\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}
[/tex]
Ensuite, j'ai été tenté d'écrire:
[tex]
\sum_{n=2}^{+\infty} Un=\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}-2*\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}
[/tex]

Cela me permet de dire qu'il s'agit d'une somme de 3 séries de Rieman et que donc que la série de terme Un converge si et seulement si α>1 mais ça ne me convient pas et ça ne me permet pas de calculer d'en déterminer Sn (question suivante). En plus, c'est contradictoire avec la condition initiale de n>=2....

Auriez-vous une suggestion à me faire car je vais finir par ne plus avoir de cheveux?????

Merci d'avance