Forum de mathématiques - Bibm@th.net

OK , merci à tous je vais bosser tout ça.

Faut que j'ai le réflexe. Quand je suis bloqué comme ça il faut que je pense à développer ma somme comme l'a fait Freddy plus haut. Voir la tête que ça a ça peut aider quand même.

Donc [tex]nS = -\binom{n}{0}+\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{3}-...+(-1)^{n-1}\binom{n}{n} +(1-n)[/tex]

Salut,

j'ai un poil plus simple (pour moi) :

[tex]S = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{k+1}\binom{n-1}{k}= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\binom{n}{k+1} [/tex]

Donc [tex]nS = -\binom{n}{0}+\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{3}-...+(-1)^{n-1}\binom{n}{n} +(1-n)[/tex]

et [tex]-nS = (1-1)^n -(1-n)[/tex]

et on retrouve le résultat initialement donné.

Bonjour,

Cette somme se calcule bien en sommant les termes en descendant de k=n-1 à 1
Effectuons donc le changement de variable p=n-k. la somme devient :

[tex] \sum_{p=1}^{n-1} \frac{(-1)^{n-p}{n-p+1} \binom{n-1}{n-p} [/tex]

on utilisera [tex] \binom{n-1}{n-p}= \binom{n-1}{p-1} = \binom{n-1}{p}\frac{p}{n-p} [/tex]

appelons[tex] s_i[/tex] la somme des i premiers termes et [tex]u_i[/tex] le ième terme
on montre facilement (par récurrence) [tex] s_i=u_i\frac{n-i+1}{n}[/tex]
et prenant i=n+1 que la somme totale [tex]s_{n-1}= \frac{1-n}{n}[/tex] (annoncée par freddy)

Salut,

sauf erreur, tu devrais trouver [tex]\frac{1-n}{n}[/tex]

Ca vroudrait dire que c'est plus un changement de variable 'hors somme' pour trouver un équivalent à

$$ \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

Si je vérifie l'égalité pour deux valeurs particulières par exemple n=4 et k=2 ça me donne

$$ \frac{1}{n} \binom{n}{k+1} = \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

$$ \frac{1}{4} \binom{4}{3} = \frac{1}{3} \binom{3}{2} $$

$$ 1 = 1 $$

Ca prouve rien mais bon.
Alors j'ai essayé de continuer.

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k+1} \binom{n-1}{k} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{n} \binom{n}{k+1} $$

Là maintenant je change d'indice i= k+1 puis je reviens à k

$$ = \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k} $$

Il faudrait que je trouve un télescopage.
Les (-1) avec une puissance paire vont donner du plus et avec une puissance impaire vont donner du moins ?
Faut que je cherche dans ce sens là ?

Est ce que je peux faire ça

$$ \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} $$

$$ \frac{1}{n} \binom{n}{k} = \frac{1}{k} \binom{n-1}{k-1} $$

Puis changer d'indice i=k-1 pour avoir après être revenu à k. C'est possible ça ?

$$ \frac{1}{n} \binom{n}{k+1} = \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

Ca me rapproche un peu de ma forme

En fait changer d'indice 'en dehors' d'une somme j'ai jamais fait.

Bonsoir Romain-13,

Il y a plusieurs façon d'y arriver.
Tu peux essayer d'utiliser la formule de Taylor du type [tex](1-x)^n=...[/tex] , puis... je te laisse imaginer la suite (pense à intégrer la fonction que tu obtiens).

Roro.