Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
j'ai le problème suivant:
$\begin{cases}
& \dfrac{\partial u}{\partial t} = k \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 0 < x < l, t > 0\\
& u(0,t)=0,\\
& \dfrac{\partial u}{\partial x} (l,t)=0, t \geq 0\\
& u(x,0) = f(x), 0 \leq x \leq l
\end{cases}
$
La question est de montrer que ce problème admet une unique solution. Pour cela, on suppose qu'il existe deux solutions
$u_1$ et $u_2$, et on pose $v=u_1- u_2$. En multipliant l'équation par $v(x,t)$, puis en intégrant par parties, on obtient:
$$
\displaystyle\int_0^l [\displaystyle\int_0^T \dfrac{\partial v}{\partial t} (x,t) v(x,t) dt] dx - k \displaystyle \int_0^T [\displaystyle\int_0^l \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} (x,t) v(x,t) dx] dt=0
$$
ce qui implique
$$
\displaystyle\int_0^T \dfrac{\partial v}{\partial t}(x,t) v(x,t) = \dfrac{1}{2} [v^2(x,T)- v^2(x,0)]
$$
et
$$
\displaystyle\int_0^l \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}. v(x,t) dx = \dfrac{\partial v}{\partial x}(l,t). v(l,t) - \dfrac{\partial v}{\partial x}(0,t).v(0,t) - \displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_0^l [\dfrac{\partial v}{\partial x}]^2 dx
$$
ainsi, on conclut
$$
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^l v^2(x,T) dx - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^l v^2(x,0) dx + k \displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_0^l (\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t))^2 dx=0.
$$
Ma question est: quels argument utiliser pour conclure que $$v(x,t)=0\;\forall\; (x,t)\;? $$
Merci

Effectivement, tu n'as jamais dit que ton EDP avait aussi une condition initiale... dans ce cas, il est clair qu'il n'y a pas unicité de la solution !!!

Je pense que je ne vais plus intervenir sur ce post car tu ne dis jamais tout.

Je termine donc par résumé ce que j'ai fais avant :

Si tu considères le système d'EDP que tu as écris au post 5 alors pour toute donnée initiale [tex]u(0,x)=u_0(x)[/tex] il existe une unique solution [tex]u(t,x)[/tex]. La méthode est celle que tu as évoquée : tu considères 2 solutions, tu regardes le système vérifié par la différence
et tu fais une estimation (en gros l'inégalité du post 1). Tous les termes étant nuls, tu en déduis - par exemple avec le premier terme - que pout tout t, et pour presque tout x on a u(x,t)=0...

Roro.

Bonsoir htina,

C'est un peu dommage qu'il faille trouver l'énoncer avant de pouvoir répondre...

Ceci étant dit c'est donc beaucoup plus simple car il suffit juste de remarquer que v(x,0)=0, et que tu as donc une somme de termes positifs qui est nulle.

Roro.

Bonsoir,

Je n'en sais rien et je n'ai pas envie de chercher ! Peut-être que quelqu'un d'autre aura une idée...

Le vrai commentaire devrait-être : qu'as-tu essayé ?

J'ai comme l'impression que ce que tu as obtenu au post 1 ressemble à une estimation d'énergie issue d'une EDP. Dans ce cas, l'identité serait vraie pour tout T, et évidemment ça change tout. Mais j'espère que je me trompe et que tu ne nous as pas donné un énoncé faux.

Roro.

Bonsoir htina,

Il me semble que c'est faux. Par exemple en prenant (à vérifier) [tex]v(x,t)=\mathrm e^{-t}[/tex].

Roro.