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Merci, j'ai bien compris.

Si on résout chaque équation toute seule et puis on prend l’intersection, on trouve les solutions du systèmes.
La première équation est satisfaite pour [tex]C_1[/tex] quelconque, et [tex]\alpha = -\ln(2)/2 \pi[/tex];, et la deuxième équation est vérifiée pour [tex]\alpha = 0[/tex] (or qu'ici,[tex] \alpha \in \R^*[/tex]. Si on travail ainsi, on conclut que l'ensemble des $\alpha$ t.q le déterminant est nul, est vide. Non?

J'ai une autre question. Je cherche à trouver les réels [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex], tels que
[tex]C_1(1 - 2 e^{2 \pi \alpha}) + C_2 (1- e^{-2 \pi \alpha})=0[/tex]
et
[tex]C_1 (1- e^{2 \pi \alpha}) - C_2 (1 + e^{-2 \pi \alpha})=0[/tex]
où [tex]\alpha \in \mathbb{R}^*[/tex].
On commence par calculer le déterminant de ce système.
[tex]det = -2 + e^{-2 \pi \alpha} + 3 e^{2 \pi \alpha}[/tex].
Comment savoir si ce déterminant peut s’annuler ou pas?
Merci beaucoup.

Donc, dans le cas général, si le determinant est nul, soit le système admet une infinité de solutions, soit il n'admet aucune solution.
Comment on sait s'il admet une infinité de solutions ou bien il n'admet aucune solution? Dans le cas d'un système a deux équations, c'est toujours une infinité de solutions dans le cas du detérminant nul, sinon, on regarde les équations, si elles sont proportionnelles, ou non. C'est bien ca?

Le determinant est nul revient à dire que ligne est proportionnelle à l'autre? Comment ca? svp

J'avais fait une erreur de calcul.
Le déterminant est [tex]-1 - 3 \cos(2 \pi \sqrt{\alpha^2}) + 4 \cos^2 (2 \pi \sqrt{\alpha^2})[/tex].
On pose [tex]c = \cos (2 \pi \sqrt{\alpha^2})[/tex]. Le déterminant est nul, ssi [tex]c[/tex] vérifie l'équation de second ordre [tex]4 c^2 - 3 c -1 = 0[/tex]. Les solutions de cette équations sont [tex]c=-\dfrac{1}{4}[/tex] ou [tex]c=1[/tex].
Ainsi, le déterminant est nul ssi
[tex]\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k[/tex] ou [tex]\sqrt{\alpha^2} = - \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k[/tex]
ou [tex]\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k[/tex], ou [tex]\sqrt{\alpha^2} =- \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k[/tex].
Donc, pour ces valeurs de[tex] \sqrt{\alpha^2}[/tex], le système admet une solution unique [tex]c_1=c_2=0[/tex].
Et si [tex]\sqrt{\alpha^2}[/tex] ne prend pas ces valeurs, le déterminant n'est alors pas nul, et dans ce cas, le système admet une infinité de solutions si l'une des équations est multiple de l'autre, sinon, il n'admet aucune solution. Et je ne vois pas que l'une des équations est multiple de l'autre, alors que dire?

Le déterminant est $-1 - 3 \cos(2 \pi \sqrt{\alpha^2}) + 4 \cos^2 (2 \pi \sqrt{\alpha^2})$.
On pose $c = \cos (2 \pi \sqrt{\alpha^2})$. Le déterminant est nul, ssi $c$ vérifie l'équation de second ordre $4 c^2 - 3 c -1 = 0$. Les solutions de cette équations sont $c=-\dfrac{1}{4}$ ou $c=1$.
Ainsi, le déterminant est nul ssi
$\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k$ ou $\sqrt{\alpha^2} = - \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k$
ou $\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k$, ou $\sqrt{\alpha^2} =- \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k$.
Donc, pour ces valeurs de $\sqrt{\alpha^2}$, le système admet une solution unique $c_1=c_2=0$.
Et si $\sqrt{\alpha^2}$ ne prend pas ces valeurs, alors qu'est ce qu'on peut dire?
Merci.

J'ai essayé de résoudre le système, mais je ne sais même pas par où commencer, les C_1 et C_2 sont quelconques. Que faire? Svp.