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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Glozi
- 17-10-2023 13:50:31
Bonjour,
Oui, c'est cela. Une fonction bornée (on ne dit pas "finie") est toujours L^1 sur un intervalle.
Il faudrait rajouter comme hypothèse que l'intervalle est borné (et aussi que la fonction est mesurable, par exemple continue par morceaux)
Bonne journée
- Roro
- 17-10-2023 08:28:49
Bonjour,
Sans plus de précision, je dirai que $L^2$ est un espace de Hilbert.
Roro.
- AIMÉ
- 17-10-2023 02:43:37
Bonjour à tous,
S'il vous plaît, quelle est la particularité de l'espace L^2?
- Fran
- 05-03-2007 17:47:18
Je te remercie beaucoup Fred pour ton aide.
- Fred
- 05-03-2007 17:43:25
Oui, c'est cela. Une fonction bornée (on ne dit pas "finie") est toujours L^1 sur un intervalle.
Sinon, il faut étudier au cas par cas, en comparant notamment par rapport aux intégrales de Riemann.
Fred.
- fran
- 05-03-2007 16:11:48
C'est seulement dans le cas ou f(t) est finie, qu'elle appartient à L^1 et L^2, sinon, on ne peut pas savoir, il faut étudier chaque fonction particulière.
- fran
- 05-03-2007 15:57:15
Dans un cas particulier, je comprend très bien, mais je n'arrive pas à le voir dans le cas général. On ne peut pas déterminer si une fonction de durée finie appartient ou pas à L^1 ou à L^2, dans le cas général. Tout dépend de la fonction f(t).
- Fred
- 04-03-2007 22:32:20
Qu'entends-tu par diverge????
Il faut que int_a^b |f(t)|dt soit fini!
Par exemple, si a=0, b=1, f(t)=1/racine(t) est dans L^1 mais pas dans L^2.
Fred.
- Fran
- 04-03-2007 22:08:17
Il faut donc que f(t) ne diverge pas sur [a,b] pour qu'elle apprtiennent à L^1 et L^2
- Fred
- 04-03-2007 21:24:50
Pas si sûr....
Il faut encore être sûr que f est dans L^1([a,b])!
Fred.
- Fran
- 04-03-2007 13:49:09
Je te remercie Fred pour ton aide.
Maintenant dans le cas d'un fonction de durée de finie, si je me trompe pas, est dans L^1(R) et L^2(R).
une fonction de durée finie est: f(t)=0 pour tout t n'appartenant pas à [a,b]
l'intégrale sur [a,b] de |f(t)| dt >0
l'intégrale sur R de |f(t)| dt = l'intégrale sur [a,b] de |f(t)| dt >0
donc f(t) appartient à L^1(R)
- Fred
- 03-03-2007 21:02:46
Salut,
Ta question n'est pas très précise, il faudrait préciser L^1 ou L^2 sur quel ensemble.
Voici une réponse possible : une fonction périodique non nulle (presque partout) n'est dans aucun L^p(R).
En effet, si la fonction est non nulle presque partout, elle est non nulle sur une période, et on a
[tex]\int_0^T |f(t)|^pdt>0[/tex].
Maintenant, on découpe R en les intervalles [nT,(n+1)T] où n est dans Z. En faisant un changement de variables, on a :
[tex]\int_R |f(t)|^p dt=\sum_{n\in Z}\int_{nT}^{(n+1)T}|f(t)|^p dt=\sum_{n\in Z}\int_0^T |f(t)|^p dt=+\infty[/tex]
puisqu'on somme une infinité de fois le même réel strictement positif.
A+
Fred.
- Fran
- 03-03-2007 20:35:21
Une fonction périodique appartient t'elle à L1, L2?
Je sais qu'une fonction périodique est definie par: f(t)=f(t+nT) avec T la période
Mais je ne sais pas comment demonter l'appartenance à un de ces ensemble dans le cas général.
Si quelqu'un peut m'aiguiller ou me donner un conseil, ca serait très gentil.
Merci d'avance.