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pour la question 2 par exemple , j'effectue un glissement de terrain sud ( coté roméo) et R glisse de 20m vers le nord et devient R'

je trace R'J  trace la médiatrice du segment R'J qui coupe la berge nord  en P , position de la passerelle .

Tu as construit J' comme projeté (orthogonal ? Pas précisé !) de J sur la droite représentant la rive la plus proche du canal. Appelons [tex](\Delta)[/tex] et (D) la droite matérialisant l'autre rive.
Tu as [tex] (JJ') \perp (Delta)[/tex] et tu dis : "soit E l'intersection de la droite (JJ') avec la vertical passant par R"
La verticale passant par R avec tes notations est (RR')
[tex](D) // (\Delta)[/tex]
[tex](RR') \perp (D)[/tex]
[tex](JJ') \perp (\Delta)[/tex]
J'en conclus que (RR') // (JJ')...
Où est donc E ?
Ton problème, c'est la gestion du canal...

 
soit R' et J' les projection de R et J (respectivement) sur les bords les plus proches du canal.
on pose  [tex]R'A=x\,et\,BJ'=150-x[/tex]. [tex]x[/tex] étant l’abscisse du point A ( sens positif vers J')
le trajet total :  [tex]T\left(x\right)=RA+AB+BJ=\sqrt{40{0}^{2}+{x}^{2}}+\sqrt{{\left(150-x\right)}^{2}+30{0}^{2}}+20[/tex]
[tex]\frac{dT\left(x\right)}{dx}=2x{\left(40{0}^{2}+{x}^{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}-2\left(150-x\right)\left({\left(150-x\right)}^{2}+30{0}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]
cette dérivé s'annule au point minimum de T(x) à  [tex]x=\frac{600}{7}[/tex] 

pour la question 2:
pour que RA=JB  [tex]\Rightarrow \sqrt{{x}^{2}+40{0}^{2}}=\sqrt{{\left(150-x\right)}^{2}+30{0}^{2}}[/tex]
alors  [tex]x=-\frac{475}{3}[/tex]

Tout d'abord on sait que la passerelle reste perpendiculaire à la direction du cours d'eau. et sa largeur réduite à son axe.

_ question 1 :

par hypothèse j'appellerai  H   la projection du point R sur le bord de l'eau  et K celle de J sur la berge mais du coté de J .

Le chemin le plus court hors de la passerelle est donc l'hypothénus d'un triangle rectangle de cotés 150m et 700m

[tex]h = \sqrt{150^2 +700^2}=715.891m[/tex]   . du coté de chez roméo on peut construire un triangle homothétique au précédent , dans un rapport d'homothétie de [tex]\frac47[/tex]  puisqu'il se trouve à 400m de la berge. ainsi la passerelle peut être installée à une distance du point H de 
         [tex] 150 \times{\frac47} = 85.714m[/tex]  et la distance à parcourir pour aller de l'un chez l'autre est de 715.891 + 20 = 735.891m

_ question 2:

    les distances à parcourir pour chacun des tourtereaux pour se rendre en bout de passerelle est la même . parité oblige.

et la on construit 2 rectangles rectangles ayant seulement la même hypothénus

soit x cette hypothénus. je pose b la distance de la passerelle au point K

on obtient les 2 égalités suivantes en appliquant pythagore :  [tex]x^2 = 300^2 + b^2[/tex]

                                                                                puis aussi :  [tex]x^2 = 400^2 + (150-b)^2  [/tex]

on retranche membre à membre les 2 égalités et [tex]b = \frac{400^2 - 300^2 + 150^2}{300} \approx 308.333m[/tex] du point K

et donc à 308.333m - 150m = 158.33m à gauche du point H  . Et chacun de vra parcourir 430.19m + 10m =440.19m pour se rencontrer.

 
Je vais ajouter un dessin
                                                                                     à plus

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