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Bonjour,

Connaissances requises pour ce pb : Th proba élémentaires (va, loi, espérance, indépendance) , réels , relation d'ordre sur R, théorème d'unicité de mesures, que la tribu des boréliens sur R^2 est engendrée par le pi-systeme des ExF où E borélien de R et F borélien de F

Voici la solution :

1) Modélisation correcte de la situation :

Ici, le résultat du jeu est le gain ou la perte d'une cravate de taille t, ce que l'on peut modéliser par un nombre réel t qui est positif dans le cas d'un gain et négatif dans le cas d'une perte. La relation d'ordre sur R correspond à la façon dont chaque joueur évalue ses gains car chaque joueur préfère avoir une cravate t plus longue qu'une autre t' (t>t'), et chaque joueur préfère gagner une cravate que d'en perdre une (et tout nombre positif est supérieur pour la relation d'ordre dans R à n'importe quel nombre négatif).

Il faut donc au moins définir 2 variables aléatoires réelles T et T' où T représente la taille de la cravate de monsieur A et T' celle de celle de monsieur B.

Cela suffit aussi car on peut alors définir les autres variables aléatoires : ? l'identité du gagnant comme fonction de T et T' par :
? = A lorsque T'>T et ? = B lorsque T>T' et ?=0 lorsque T=T' (dans le cas où les 2 cravates font la même taille, pas de gagnant), X_A le gain du joueur A par X_A = -T si T>T' et X_A = T' si T'>T et X_A = 0 si T=T' et similairement pour X_B le gain de monsieur B.

2) Pourquoi Monsieur B suppose qu'il a autant de chance de gagner que de perdre ?

Cela dépend de la loi du vecteur aléatoire (T, T'):
P(Monsieur B gagne) = P(T>T') = P((T,T') soit dans l'ensemble {(t,t') dans R^2; t>t' }) et

monsieur B suppose que T et T' sont 2 variables iid : indépendantes et identiquement distribuées :

sous cette hypothèse on a alors pour tout  E, F boréliens de R : P((T,T')dans ExF) = P(T dans E, T' dans F) =(par indépendance)= P(T dans E) P(T' dans F) =(car même distrib)= P(T'dans E)P(T dans F) = P((T',T)dans EXF).
Et on en déduit, puisque les ExF forment un pi-systeme qui engendre les boreliens de R^2, que (T,T') et (T',T) ont même distribution.
Finalement P(Monsieur B gagne) = P(T>T') = P((T,T') dans {(t,t') t>t'}) = P((T',T) soit dans {(t,t') t>t'} = P(T'>T) = P(Monsieur B perde)

3)Calcul des gains en moyenne de monsieur B

Maintenant passons à l'espérance de gain de monsieur B X_B : On a X_B = 1_{T>T'}*T + 1_{T<T'}(-T') et par linéarité de E l'esperance :
E[X_B] = P(T>T')E(T) + P(T>T')E(-T) = P(T>T')E(T) - P(T>T')E(T) =(puisque T et T' i.d. E(T) = E(T') )=E(T)[P(T>T') - P(T'>T)] =(puisque on vu que les 2 proba sous egales sous l'hyp iid)=0

Finalement l'espérance de gain de monsieur B est 0 : Monsieur B a tort de croire que le jeu lui est avantageux.

Appendice : Quelle était l'erreur de Monsieur B ?

L'erreur de monsieur B : Il calcule abusivement son espérance de gain comme ça : sachant que la taille se sa cravate est L' : T' = L', il écrit alors son gain comme ca: X_B = 1_{T>L'}*T + 1_{T<L'}*(-L') et il minore comme ça : "je gagne qqch de strictement supérieur à..." : X_B > 1{T>L'}*L' + 1_{T<L'}*(-L'). Il est fort probable que cette inégalité reste stricte quand on passe à l'espérance E(X_B) > (L')*[(P(T>L') - P(T<L')] Mais le problème est que l'on ne connait pas P(T>L') ni P(T<L) et il n'y aucune raison de croire que ces 2 quantités soient égales : Cela ne se produit que si Monsieur B porte une cravate de taille L' égale exactement à la médiane de la distribution des tailles de cravates...
Le calcul montre donc que le jeu est à somme nulle pour monsieur B si il sait qu'il a une cravate de taille exactement médiane.

Ce calcul montre aussi que le jeu est favorable pour un joueur qui sait que la taille de sa cravate est inférieur à la taille médiane des cravates de son partenaire de jeu, et que le jeu est défavorable à un joueur qui sait que la taille de sa cravate est supérieur à cette médiane (donc finalement seulement les joueurs à petites cravates vont jouer et donc les distributions des tailles de cravates seront altérées...)

Salut à tous,

J'ai comme une impression qu'on mélange la notion de gain avec la notion de probabilités.

En effet, si on raisonne sur un coup, Monsieur A a 50 % de chances de gain, et Monsieur B aussi. Le pari est équilibré et il n'y a pas de problème. Il me semble que c'est dans le libellé du problème qu'il y a quelque chose de vicieux, mais je confesse que je ne sais pas bien l'expliquer.

OK, alors  dis ce qui ne va pas dans la phrase de B !

Salut à tous,

A chaque coup, les deux joueurs se présentent avec chacun une nouvelle cravate. Ca me parait la condition sine qua non pour que le jeu ait un sens.

Au bout de mille coups, si la règle de probabilité est respectée, Monsieur A sera en possession de 500 cravates courtes et de cinq cents cravates longues. Il en sera de même pour Monsieur B.

Bonjour,

A la manière de nerosson : "Surement Monsieur A n'aime pas sa cravate..." :-)

Edit : 2 cravates mais un seul t (j'en avais mis 2)

Salut,

en effet, joli sujet. Je laisse un peu de temps et ne masque même pas la solution que je ne donnerai pas dans l'immédiat.

Freddy